Główna Jak się nie pomylić, czyli potęga matematycznego myślenia

Jak się nie pomylić, czyli potęga matematycznego myślenia

0 / 0
Jak bardzo podobała Ci się ta książka?
Jaka jest jakość pobranego pliku?
Pobierz książkę, aby ocenić jej jakość
Jaka jest jakość pobranych plików?
Matematyka jest częścią naszego świata. Jest nieodłącznie związana z naszym sposobem myślenia i rozumienia rzeczywistości. Matematyka to nauka, której techniki i narzędzia zostały wypracowane przez setki lat sumiennej pracy i dyskusji. Dzięki niej spoglądasz na świat w głębszy, zdrowszy i bardziej wnikliwy sposób. Aby jednak choć trochę nauczyć się matematyki, trzeba ją praktykować. Wymaga to czasu i wysiłku, jednak matematyczne myślenie wyjątkowo się przydaje!

Trzymasz w ręku książkę, dzięki której nauczysz się matematycznego myślenia. Matematyka jest tu traktowana jako rozwinięcie zdrowego rozsądku, narzędzie pozwalające na odnajdywanie ukrytych zależności, wyszukiwanie rozwiązań pozornie nierozwiązywalnych problemów i swobodne poruszanie się po zupełnie sobie obcych dziedzinach. Opisano tu dość złożone zagadnienia, takie jak problemy optymalizacji, inżynieria wsteczna, rachunek prawdopodobieństwa, i pokazano, w jaki sposób można je wykorzystywać każdego dnia podczas podejmowania różnych decyzji, dokonywania ocen czy wyborów. Prędko przekonasz się, jak bardzo praktykowanie matematyki ćwiczy umysł i wyrabia umiejętność szybkiej i trafnej oceny rzeczywistości!

Dzięki tej zajmującej książce niematematyk:
- zrozumie podstawowe idee matematyczne
- rozwinie umiejętność matematycznego myślenia
- nauczy się wnioskować z żelazną, matematyczną precyzją
- być może polubi matematykę
- na pewno o wiele rzadziej będzie się mylić!
Praktykuj matematykę i nie daj się zmylić!
Rok:
2017
Wydawnictwo:
Helion
Język:
polish
ISBN 13:
9788328332621
Plik:
EPUB, 2,86 MB
Ściągnij (epub, 2,86 MB)

Możesz być zainteresowany Powered by Rec2Me

 

Najbardziej popularne frazy

 
0 comments
 

To post a review, please sign in or sign up
Możesz zostawić recenzję książki i podzielić się swoimi doświadczeniami. Inni czytelnicy będą zainteresowani Twoją opinią na temat przeczytanych książek. Niezależnie od tego, czy książka ci się podoba, czy nie, jeśli powiesz im szczerze i szczegółowo, ludzie będą mogli znaleźć dla siebie nowe książki, które ich zainteresują.
1

Narrativa venezolana contemporánea

Année:
2018
Langue:
spanish
Fichier:
PDF, 19,88 MB
0 / 0
2

Electronics and Communications for Scientists and Engineers

Année:
2020
Langue:
english
Fichier:
PDF, 13,43 MB
0 / 0
Jordan Ellenberg

Jak się nie pomylić

czyli potęga matematycznego myślenia





Tytuł oryginału: How Not to Be Wrong: The Power of Mathematical Thinking

Tłumaczenie: Marcin Machnik

ISBN: 978-83-283-3263-8

Copyright © 2014 by Jordan Ellenberg

Penguin supports copyright. Copyright fuels creativity, encourages diverse voices, promotes free speech, and creates a vibrant culture. Thank you for buying an authorized edition of this book and for complying with copyright laws by not reproducing, scanning, or distributing any part of it in any form without permission.

Polish edition copyright © 2017 by Helion SA

All rights reserved.

“Soonest Mended” from The Double Dream of Spring by John Ashbery. Copyright © 1966, 1970 by John Ashbery. Reprinted permission of Georges Borchardt, Inc., on behalf of the author.

“Sitting on a Fence” words and music by Ian Cullimore and Paul Heaton. Copyright © 1986 Universal Music Publishing Ltd. and Universal / Island Music Ltd. All rights in the United States and Canada controlled and administrated by Universal Polygram International Publishing, Inc. All rights reserved. Used by permission. Reprinted permission of Hal Leonard Corporation.

Wszelkie prawa zastrzeżone. Nieautoryzowane rozpowszechnianie całości lub fragmentu niniejszej publikacji w jakiejkolwiek postaci jest zabronione. Wykonywanie kopii metodą kserograficzną, fotograficzną, a także kopiowanie książki na nośniku filmowym, magnetycznym lub innym powoduje naruszenie praw autorskich niniejszej publikacji.

Wszystkie znaki występujące w tekście są zastrzeżonymi znakami firmowymi bądź towarowymi ich właścicieli.

Autor oraz Wydawnictwo HELION dołożyli wszelkich starań, by zawarte w tej książce informacje były kompletne i rzetelne. Nie biorą jednak żadnej odpowiedzialności ani za ich wykorzystanie, ani za związane z tym ewentualne naruszenie praw patentowych lub autorskich. Autor oraz Wydawnictwo HELION nie ponoszą również żadnej odpowiedzialności za ewentualne szkody wynikłe z wykorzystania informacji zawartych w ksi; ążce.

Materiały graficzne na okładce zostały wykorzystane za zgodą Shutterstock Images LLC.

Wydawnictwo HELION

ul. Kościuszki 1c, 44-100 GLIWICE

tel. 32 231 22 19, 32 230 98 63

e-mail: helion@helion.pl

WWW: http://helion.pl (księgarnia internetowa, katalog książek)

Drogi Czytelniku!

Jeżeli chcesz ocenić tę książkę, zajrzyj pod adres

http://helion.pl/user/opinie/jaksnp_ebook

Możesz tam wpisać swoje uwagi, spostrzeżenia, recenzję.

Poleć książkę

Kup w wersji papierowej

Oceń książkę





Księgarnia internetowa

Lubię to! » nasza społeczność





Dla Tanyi





„To, co najlepsze w matematyce, nie powinno być uczone pod przymusem, lecz przyswajane jako element codziennego myślenia i przywodzone na myśl z niewygasłą zachętą”.

BERTRAND RUSSELL, The Principles of Mathematics (1903)





„To, co najlepsze w matematyce, nie powinno być uczone pod przymusem, lecz przyswajane jako element codziennego myślenia i przywodzone na myśl z niewygasłą zachętą”.

BERTRAND RUSSELL, The Principles of Mathematics (1903)





Kiedy w ogóle tego użyję?


W tej chwili w sali wykładowej gdzieś na świecie jakaś studentka klnie pod nosem na swojego nauczyciela matematyki, przez którego będzie musiała poświęcić znaczną część weekendu na obliczenie trzydziestu całek oznaczonych.

Nasza uczennica z całą pewnością wolałaby zająć się czymś innym. Można nawet zaryzykować stwierdzenie, że wolałaby zająć się czymkolwiek, byle nie tym. Wie to, bo znaczną część poprzedniego weekendu spędziła na obliczaniu innych — chociaż tak naprawdę bardzo podobnych — trzydziestu całek oznaczonych. Nie widzi w tym żadnego sensu, co też mówi swojemu nauczycielowi. I w którymś momencie ich wymiany zdań pada to najbardziej przerażające dla wykładowcy pytanie:

— Kiedy w ogóle tego użyję?

Wykładowca przypuszczalnie odpowie coś takiego:

— Rozumiem, że cię to nudzi, ale pamiętaj, że nigdy nie wiadomo, do jakiej pracy trafisz. Teraz nie widzisz w tym sensu, ale być może wybierzesz branżę, w której umiejętność szybkiego i poprawnego obliczania całek oznaczonych jest niezwykle ważna.

Taka odpowiedź prawdopodobnie nie usatysfakcjonuje studentki. To dlatego, że jest kłamstwem. Zarówno ona, jak i nauczyciel zdają sobie z tego sprawę. Dorosłych, którym przyda się całka z (1–3x+4x2)–2dx, wzór na cos 3θ lub syntetyczne dzielenie wielomianów, można policzyć na paru tysiącach rąk.

To kłamstwo nie jest też specjalnie satysfakcjonujące dla nauczyciela. Kto jak kto, ale ja powinienem to wiedzieć, bo jako wykładowca matematyki zadałem liczenie całek oznaczonych setkom studentów.

Na szczęście istnieje lepsza odpowiedź. Brzmi ona mniej więcej tak:

— Matematyka nie polega na przeprowadzaniu do upadłego serii żmudnych obliczeń, chociaż można odnieść takie wrażenie na podstawie odbytych przez was lekcji zwanych matematyką. Całki są dla matematyki tym, czym trening siłowy i kalistenika dla piłki nożnej. Jeśli chcesz grać w piłkę nożną — ale tak na serio, na zawodowym poziomie — czeka cię mnóstwo nudnych, powtarzalnych i pozornie bezcelowych ćwiczeń. Czy zawodowy piłkarz kiedykolwiek ich użyje? Cóż, nigdy nie widziałem, by ktoś w trakcie meczu biegał z ciężarkami lub robił zygzaki z piłką między pachołkami. Zawodnicy wykorzystują natomiast siłę, szybkość, instynkt i elastyczność wyrobione dzięki tym monotonnym, wielotygodniowym treningom. Są one niezbędnym elementem nauki gry w piłkę. Jeśli chcesz zostać zawodowym piłkarzem czy chociażby grać w drużynie uniwersyteckiej, czeka cię mnóstwo nudnych weekendów na boisku treningowym. Nie ma innej drogi. Dobra wiadomość jest jednak taka, że jeżeli nie jesteś w stanie zdzierżyć nużących ćwiczeń, możesz grać po prostu dla przyjemności, z przyjaciółmi. Zręczne wyminięcie obrońców lub celny strzał z dużej odległości da ci taką samą satysfakcję jak zawodowcowi. Będziesz zdrowsza i bardziej zadowolona, niż gdybyś siedziała w domu i oglądała zawodowców w telewizji.

A potem podsumowałbym to tak:

— Z matematyką jest mniej więcej tak samo. Nie musisz celować w matematyczne miejsca pracy. Nie ma w tym niczego złego i większość osób podejmuje taką właśnie decyzję. Nie oznacza to jednak, że nie możesz wykorzystywać matematyki w praktyce. Prawdopodobnie zresztą to robisz, nawet jeśli tak tego nie nazywasz. Matematyka jest nieodłącznie wpleciona w nasz system rozumowania i sprawia, że jesteś lepsza we wszystkim. Znajomość matematyki jest jak noszenie superrentgenowskich okularów, przez które widać tajne struktury, ukryte pod chaotycznym i nieuporządkowanym obliczem świata. Matematyka to nauka, która uczy, jak się nie mylić w swoich ocenach, a jej techniki i narzędzia zostały wypracowane przez setki lat sumiennej pracy i dyskusji. Z wykorzystaniem jej zasobów patrzysz na świat w głębszy, zdrowszy i bardziej wnikliwy sposób. Jedyne, czego potrzebujesz, to trener — lub nawet zwykły podręcznik — dzięki któremu poznasz reguły i podstawowe strategie. Ja będę twoim trenerem. Pokażę ci, jak to robić.

Rzadko mam tyle czasu, żeby faktycznie wygłaszać taką mowę na sali wykładowej. Ale w książce mogę sobie na to pozwolić. Liczę na to, że uda mi się udowodnić główne tezy, jakie przed chwilą zaprezentowałem, poprzez pokazanie Ci, że problemy, z jakimi borykamy się każdego dnia — polityczne, medyczne, handlowe czy teologiczne — są nieodłącznie splecione z matematyką. Wystarczy to zrozumieć, aby zyskać dojście do niedostępnej w żaden inny sposób wizji świata.

Ale nawet jeśli wygłoszę całą tę inspirującą przemowę, nie mam pewności, że studentka da się przekonać, szczególnie gdy jest wyjątkowo zacięta.

— Brzmi pięknie, profesorze — odpowie mi. — Ale to dość abstrakcyjne. Twierdzi pan, że dzięki matematyce może pan właściwie ocenić zjawiska, które bez niej oceniłby pan źle. Ale o jakie zjawiska chodzi? Proszę mi dać jakiś przykład z życia.

W tym momencie opowiedziałbym jej historię o Abrahamie Waldzie i brakujących dziurach po pociskach.





ABRAHAM WALD I BRAKUJĄCE DZIURY PO POCISKACH


Ta historia, jak wiele opowieści z czasów drugiej wojny światowej, zaczyna się od próby wyrzucenia Żydów z Europy przez nazistów, a kończy tym, że nazistom jest z tego powodu wstyd. Abraham Wald urodził się w 1902 roku w mieście, które nazywało się wówczas Klausenburg i leżało na terenach ówczesnej monarchii austro-węgierskiej1. Gdy Wald osiągnął wiek nastoletni, pierwsza wojna światowa trafiła już do podręczników, a jego rodzinne miasto zmieniło nazwę na Kluż i leżało w Rumunii. Wald był wnukiem rabina i synem koszernego piekarza, lecz niemal od samego początku edukacji przejawiał skłonność do matematyki. Szybko dostrzeżono jego talent i został posłany na studia matematyczne na Uniwersytet Wiedeński, gdzie zafascynowały go tematy uważane za trudne i abstrakcyjne nawet przez matematyków: teoria mnogości i przestrzeń metryczna.

Na swoje nieszczęście skończył studia w połowie lat trzydziestych ubiegłego wieku, gdy Austria była pogrążona w zapaści ekonomicznej i nie było szans, żeby obcokrajowiec dostał w Wiedniu posadę nauczyciela. Uratowała go propozycja pracy od Oskara Morgensterna. Morgenstern w późniejszym okresie wyemigrował do Stanów Zjednoczonych i stworzył podwaliny teorii gier, ale w 1933 roku był kierownikiem Instytutu Badań Ekonomicznych i zaoferował Waldowi skromną pensję za wykonywanie nietypowych zadań matematycznych. To okazało się dobrym posunięciem dla Walda, który dzięki doświadczeniu ekonomicznemu zdobył stypendium w Cowles Commission, instytucie badań ekonomicznych z siedzibą w Colorado Springs. Mimo pogarszającej się sytuacji politycznej Wald nie chciał definitywnie rozstawać się z czystą matematyką, lecz najazd nazistów na Austrię w znacznym stopniu ułatwił mu podjęcie tej decyzji. Po kilku miesiącach w Colorado otrzymał propozycję profesury na wydziale statystyki na Uniwersytecie Columbia, spakował się więc po raz drugi i przeprowadził do Nowego Jorku.

I tam właśnie wziął udział w wojnie.

Przez większą część drugiej wojny światowej pracował w Statistical Research Group (SRG)2, czyli tajnym programie badawczym, który wykorzystywał potęgę statystyki w działaniach wojennych. Coś jak Projekt Manhattan, tyle że zamiast bomb konstruowano równania. Co ciekawe, grupa faktycznie operowała na Manhattanie pod adresem 410 W 118th St w dzielnicy Morningside Heights, czyli jedną przecznicę od Uniwersytetu Columbia. Aktualnie w budynku znajdują się mieszkania kadry naukowej i kilka gabinetów lekarskich, ale w 1943 roku mieściło się tam aktywne i pulsujące żywiołowymi dysputami centrum wojennej matematyki. W Applied Mathematics Group z Uniwersytetu Columbia dziesiątki młodych kobiet pochylały się nad kalkulatorami biurowymi Marchant, na których liczyły optymalną krzywą, jaką powinien podążać lotnik, aby utrzymać samolot wroga w zasięgu swoich karabinów. W innym mieszkaniu grupa badaczy z Princeton opracowywała protokoły strategicznego bombardowania. A grupa z Columbii zajmująca się projektem budowy bomby atomowej pracowała za następnymi drzwiami.

Ze wszystkich tych grup SRG była jednak najpotężniejsza i, jak się okazało, najbardziej wpływowa. Atmosferę intelektualnej otwartości i intensywność wydziału akademickiego potęgowały poczucie wyższego celu, nieodłącznie związanego z tak wysoką stawką. „Różne rzeczy się działy, gdy wydawaliśmy rekomendacje — napisał W. Allen Wallis, kierownik grupy. — Myśliwce wylatywały do akcji z karabinami naładowanymi zgodnie z zaleceniem Jacoba Wolfowitza[1] o mieszaniu różnych typów amunicji i wracały lub nie. Myśliwce marynarki wojennej wystrzelały rakiety z paliwem zgodnym z wyrywkową inspekcją Abe’a Girshicka, a rakiety eksplodowały, niszcząc nasze samoloty i zabijając pilotów, albo trafiały w cel”3.

Konieczność posiadania talentu matematycznego była wprost proporcjonalna do wagi realizowanego zadania. Jak napisał Wallis, SRG było „najbardziej wyjątkową grupą statystyków, jaką kiedykolwiek stworzono, i to zarówno pod względem liczebności, jak i poziomu uczestników”4. Należeli do niej Frederick Mosteller, przyszły założyciel wydziału statystyki na Harvardzie, oraz Leonard Jimmie Savage, pionier teorii decyzji i wybitny propagator dziedziny nazwanej później statystyką bajezjańską[2]. Norbert Wiener, matematyk MIT i twórca cybernetyki, zaglądał tam od czasu do czasu. A Milton Friedman, przyszły noblista z ekonomii, często okazywał się dopiero czwartą osobą pod względem intelektu.

Pierwszą osobą pod względem intelektu w tej grupie był najczęściej Abraham Wald. Ten były wykładowca Allena Wallisa w Columbii funkcjonował w niej jak swego rodzaju matematyczna eminencja. Jako „wrogi obcy” nie miał teoretycznie prawa wglądu w tajne raporty, które tworzył. W grupie funkcjonował żart, że sekretarki miały obowiązek zabierać mu kartkę z notatkami, gdy tylko skończył na niej pisać5. Wald był pod pewnymi względami nieprawdopodobnym członkiem grupy. Jak zawsze, miał skłonność do abstrakcji i nie pociągało go praktyczne zastosowanie wiedzy. Nie dało się jednak zaprzeczyć jego motywacji do wykorzystania swoich talentów przeciwko państwom Osi. I gdy pojawiała się konieczność przekształcenia niejasnej idei w twardą matematykę, warto było go mieć w swoim zespole.





Przejdźmy do kwestii praktycznej6. Nie chcesz, żeby Twoje samoloty były zestrzeliwane przez wrogie myśliwce, więc je opancerzasz. Ale w ten sposób zwiększasz ich wagę, a cięższe samoloty zużywają więcej paliwa i trudniej nimi manewrować. Nadmierne opancerzenie samolotów jest problemem, lecz zbyt słabe opancerzenie także. Gdzieś pomiędzy mieści się optimum. I po to właśnie masz zespół matematyków w nowojorskim mieszkaniu — żeby wyznaczył to optimum.

Wojsko zgłosiło się do SRG z danymi, które uważało za przydatne. Amerykańskie samoloty, które powróciły z potyczek na europejskim niebie, były pokryte dziurami po pociskach. Ale zniszczenia korpusu nie były jednolite. Więcej dziur znajdywano w kadłubach niż w silnikach.

Sekcja samolotu

Liczba pocisków na stopę kwadratową



Silnik

1,11



Kadłub

1,73



Zbiorniki paliwa

1,55



Reszta samolotu

1,8



Wojskowi dostrzegli w tym możliwość optymalizacji. Uzyskasz ten sam poziom bezpieczeństwa z lżejszym opancerzeniem, jeśli skupisz się na najbardziej newralgicznych obszarach, czyli tych, które są najczęściej trafiane. Jak jednak obliczyć grubość pancerza dla poszczególnych części samolotu? Właśnie z takim pytaniem wojskowi przyszli do Walda, lecz odpowiedź, jaką uzyskali, była zupełnie inna.

Wald odpowiedział, że opancerzać należy nie te sekcje, które otrzymały najwięcej trafień, lecz te, gdzie dziur po pociskach było najmniej, czyli silniki.

Jego wkład w sprawę sprowadzał się do prostego pytania: gdzie są brakujące dziury? Te, które powinny się znajdować na osłonie silnika, gdyby zniszczenia rozkładały się równomiernie na cały samolot? Wald znał odpowiedź na to pytanie. Przyczyną, dla której tyle samolotów wróciło z nielicznymi trafieniami w sekcję silnika, było to, że samoloty trafione w silnik nie wracały. To, że znaczna liczba samolotów doleciała do bazy z kadłubem dziurawym jak ser szwajcarski, dość przekonująco dowodzi, że trafienia w kadłub można (i należy) zignorować. Na tej samej zasadzie w szpitalu spotkasz znacznie więcej osób postrzelonych w nogę niż w pierś. Wniosek nie jest jednak taki, że ludzie są rzadko trafiani w pierś, lecz taki, że ludzi trafionych w pierś z reguły nie ma sensu leczyć.

Oto stara matematyczna sztuczka, która bardzo pięknie to wszystko ujawnia: załóż, że niektóre zmienne są równe zeru. W tym przypadku modyfikowaną zmienną jest prawdopodobieństwo, że samolot trafiony w silnik jest w stanie utrzymać się w powietrzu. Założenie, że ta zmienna wynosi zero, oznacza, że każde trafienie w silnik gwarantuje strącenie maszyny na ziemię. Jak wówczas wyglądałyby dane do analizy? Samoloty wracające z akcji miałyby podziurawione kadłuby, skrzydła i dzioby, lecz nienaruszoną sekcję silnika. Analitycy wojskowi mogą to wyjaśnić na dwa sposoby: albo niemieckie pociski z jakiegoś powodu trafiają we wszystkie sekcje samolotu poza silnikiem, albo silnik jest skrajnie wrażliwą sekcją. Oba sposoby tłumaczą uzyskane dane, ale drugi jest znacznie bardziej sensowny. Opancerzać powinno się te sekcje, w których było najmniej pocisków.

Rekomendacja Walda została szybko wprowadzona w życie, a marynarka wojenna i siły powietrzne korzystały z niej także w wojnach w Korei i Wietnamie7. Nie jestem w stanie powiedzieć, ile amerykańskich samolotów dzięki temu ocalało, chociaż analityczni spadkobiercy SRG pracujący współcześnie dla wojska z pewnością mogliby sporo na ten temat powiedzieć. Amerykańskie siły zbrojne zawsze zdawały sobie sprawę z tego, że wojny nie wygrywa ten kraj, którego obywatele są odważniejsi, dumniejsi lub nieznacznie bardziej lubiani przez Boga. Zwycięża zazwyczaj ta strona, która ma o 5% mniej strąconych samolotów, zużywa o 5% mniej paliwa lub zapewni piechocie o 5% więcej wartości odżywczych przy jednoczesnym obniżeniu kosztów do 95% poprzednich wydatków. To nie są fakty, na podstawie których kręci się filmy wojenne, lecz tak wyglądają realia wojen. I na każdym kroku mamy do czynienia z matematyką.





Dlaczego Wald dostrzegł coś, czego nie dostrzegli wojskowi, dysponujący znacznie większą wiedzą i doświadczeniem w kwestii potyczek powietrznych? Wszystko sprowadza się do jego matematycznych nawyków w rozumowaniu. Matematycy zawsze pytają: „Jakie przyjąłeś założenia? Czy są uzasadnione?”. To bywa irytujące, ale jednocześnie jest też bardzo produktywne. W tym przypadku wojskowi nieświadomie przyjęli założenie, że samoloty, które powróciły, to reprezentatywna próbka wszystkich samolotów. Gdyby to było prawdą, uzasadnione byłoby wyciąganie wniosków o rozkładzie trafień na wszystkich samolotach na podstawie tych, które wróciły. Ale w tej samej chwili, gdy uświadomisz sobie, że stawiasz taką hipotezę, dotrze do Ciebie jej całkowita błędność. Nic nie przemawia za tym, że samolot ma jednakowe szanse na powrót niezależnie od tego, gdzie zostanie trafiony. Ujmując to matematycznym żargonem, do którego wrócimy w rozdziale 15., istnieje korelacja między prawdopodobieństwem powrotu z misji i lokalizacją dziur po pociskach.

Kolejną przewagą Walda była jego słabość do abstrakcji. Wolfowitz — student Walda na Uniwersytecie Columbia — napisał, że Wald lubował się w „najbardziej abstrakcyjnych problemach” i że „zawsze był chętny do dyskusji matematycznych, ale nie interesowały go uproszczenia i praktyczne zastosowania”8.

Nie sposób zaprzeczyć, że z racji swej osobowości Waldowi trudno było zajmować się praktycznymi problemami. Szczegóły dotyczące samolotów i dział były w jego oczach nadmiarową tapicerką, którą ignorował, by przyjrzeć się drewnianemu szkieletowi spajającemu całą tę historię. Czasem takie podejście skutkuje zignorowaniem istotnych detali. Pozwala jednak dostrzec wspólną strukturę problemów, które na pierwszy rzut oka wydają się zupełnie inne. Oznacza to, że możesz korzystać ze swego doświadczenia nawet w dziedzinach, na których na pozór w ogóle się nie znasz.

Dla matematyka ukrytą strukturą problemu dziur po pociskach jest zjawisko zwane błędem przeżywalności (ang. survivorship bias), które pojawia się regularnie we wszelkiego rodzaju kontekstach. Ale wystarczy, że je poznasz — jak Wald — a będziesz je dostrzegać wszędzie, gdzie się ukrywa.

Podobnie jest z funduszami inwestycyjnymi. Ocena wyników funduszy to temat, w którym nie możesz sobie pozwolić nawet na drobny błąd. 1% różnicy w rocznym wzroście wartości może przesądzić o tym, czy fundusz jest interesujący, czy beznadziejny. Przypisane przez portal Morningstar do kategorii „Large Blend” fundusze, które inwestują w duże przedsiębiorstwa należące zazwyczaj do listy S&P 500, sprawiają wrażenie interesujących. Od 1995 do 2004 roku zwiększyły wartość średnio o 178,4%, co daje solidne 10,8% rocznie[3]. Wygląda na to, że gdybyś miał jakąś zbędną gotówkę, dobrze by było w nie zainwestować, prawda?

Otóż nie. Przeprowadzone w 2006 roku przez Savant Capital badania pokazały te liczby w nieco mniej przychylnym świetle9. Zastanów się jeszcze raz nad tym, w jaki sposób portal Morningstar generuje te wyniki. Jest rok 2004, a my bierzemy wszystkie fundusze sklasyfikowane jako „Large Blend” i sprawdzamy, o ile wzrosły przez ostatnie dziesięć lat.

Czegoś tu jednak brakuje: funduszy, których nie ma. Fundusze nie żyją wiecznie. Jedne prosperują, inne upadają. Te, które upadły, z zasady nie zarabiały pieniędzy. Dlatego ocena dziesięcioletnich wyników funduszy na podstawie tych, które przetrwały, jest jak snucie wniosków o zręczności pilotów w unikaniu kul na podstawie samolotów, które wróciły do bazy. Załóżmy, że żaden samolot nie ma więcej niż jednej dziury po pocisku. Czy to oznacza, że nasi piloci mają wybitne umiejętności unikania nieprzyjacielskiego ostrzału? Czy może raczej należałoby sądzić, że samoloty trafione więcej niż jeden raz spadły w płomieniach na ziemię?

Jak wynika z badań Savant Capital, po uwzględnieniu wyników upadłych funduszy stopa zwrotu spada do 134,5%, co daje znacznie mniej imponujące 8,9% rocznie. Potwierdziły to także późniejsze analizy. Przeprowadzone w 2011 roku przez „Review of Finance” gruntowne badania obejmujące blisko 5000 funduszy wykazały, że wyniki 2641 funduszy, które przetrwały, są o około 20% wyższe niż te same wyniki po uwzględnieniu tych, które nie przetrwały10. Ta znacząca rozbieżność wynikająca z błędu przeżywalności mogła być zaskoczeniem dla inwestorów, ale Abraham Wald prawdopodobnie nie widziałby w niej nic niezwykłego.





MATEMATYKA JEST ROZWINIĘCIEM ZDROWEGO ROZSĄDKU PRZY UŻYCIU INNYCH ŚRODKÓW


W tym momencie mój nastoletni rozmówca zapewne by mi przerwał i całkiem rozsądnie spytał: gdzie w tym jest matematyka? Co prawda Wald był matematykiem i nie sposób zaprzeczyć, że zaoferował pomysłowe rozwiązanie problemu dziur po pociskach, ale co w nim matematycznego? Nie wykorzystał żadnych tożsamości trygonometrycznych, całek, nierówności czy wzorów.

Przede wszystkim muszę zaznaczyć, że Wald użył wzorów. Opowiedziałem tę historię bez nich, bo to tylko wprowadzenie. Gdybyś pisał książkę dla dzieci o rozmnażaniu człowieka, nie zagłębiałbyś się we wprowadzeniu w całą tę hydraulikę związaną z umieszczeniem dzidziusia w brzuszku mamusi. Zamiast tego zacząłbyś od czegoś takiego: „Wszystko w naturze się zmienia. Drzewa tracą liście na zimę, aby wiosną rozkwitnąć na nowo. Niepozorna gąsienica wchodzi w fazę poczwarki i zmienia się w olśniewającego motyla. Ty także jesteś częścią natury i…”.

To właśnie ta część mojej książki.

Ale jesteśmy dorośli. Darujmy sobie na chwilę subtelności, żeby zobaczyć przykładową stronę raportu Walda11.




Mam nadzieję, że nie było to dla Ciebie zbyt szokujące.

Trzeba jednak zaznaczyć, że pomysł stojący u podstaw wniosków Walda nie wymagał pokazanych powyżej formalności. Wyjaśniliśmy go bez wykorzystania jakichkolwiek równań. Dlatego pytanie mojego ucznia nadal pozostaje bez odpowiedzi. Gdzie w tym jest matematyka? Może to raczej zwykły zdrowy rozsądek?

Tak. Matematyka to właśnie zdrowy rozsądek. Na podstawowym poziomie nie ma żadnych wątpliwości w tej kwestii. Jak wyjaśnić komuś, że dodanie siedmiu przedmiotów do pięciu przedmiotów da ten sam wynik co dodanie pięciu przedmiotów do siedmiu przedmiotów? Nie da się. Ten fakt jest nieodłącznie wpisany w nasz sposób myślenia o dodawaniu przedmiotów. Matematycy lubią nadawać nazwy zjawiskom opisywanym przez nasz zdrowy rozsądek i zamiast powiedzieć: „Ta rzecz plus tamta rzecz to to samo co tamta rzecz plus ta rzecz”, stwierdzimy: „Dodawanie jest przemienne”. Albo, jako że lubimy symbole, napiszemy:

Dla każdego a i b a+b = b+a.

Mimo tak oficjalnego wzoru mówimy o fakcie instynktownie rozumianym nawet przez dzieci.

Mnożenie to nieco inna historia. Wzór wygląda dość podobnie:

Dla każdego a i b a×b = b×a.

Na widok tego równania umysł nie zareaguje takim samym: „No, ba”, jak w przypadku dodawania. Czy to, że dwa zestawy sześciu rzeczy są równe sześciu zestawom dwóch rzeczy, także jest kwestią „zdrowego rozsądku”?

Nie wiem. Wiem jednak, że może stać się zdroworozsądkową kwestią. Oto moje najwcześniejsze matematyczne wspomnienie. Leżę na podłodze w domu rodziców z policzkiem przyciśniętym do kosmatego dywanu i patrzę na głośniki wieży stereo. Bardzo możliwe, że słucham drugiej strony niebieskiego albumu Beatlesów. Być może mam sześć lat. Są lata sześćdziesiąte, więc głośniki mają fronty z prasowanego drewna z małymi okrągłymi otworami tworzącymi duży prostokąt. Osiem otworów w poprzek, sześć otworów z góry na dół. Leżę więc sobie i patrzę na te dziurki. Sześć rzędów. Osiem kolumn. Zmieniając sposób patrzenia, widzę na zmianę albo rzędy, albo kolumny. Sześć rzędów po osiem otworów lub osiem kolumn po sześć otworów.

I wtedy to do mnie dociera. Osiem szóstek to tyle samo co sześć ósemek. Nie dlatego, że tak mi powiedziano, lecz dlatego, że po prostu nie może być inaczej. Liczba otworów w panelu jest taka sama, niezależnie od metody użytej do ich obliczenia.




Zwykle uczy się matematyki jako długiej listy reguł. Przyswajasz je po kolei i musisz ich przestrzegać, bo jak nie, to dostaniesz jedynkę. To nie jest matematyka. Matematyka to badanie zjawisk, które zachodzą w jakiś sposób, gdyż nie ma możliwości, aby zachodziły w inny.

Powiedzmy sobie jednak szczerze, że nie wszystko w matematyce można wyrazić tak przejrzyście i intuicyjnie jak dodawanie i odejmowanie. Nie da się obliczyć całki za pomocą zdrowego rozsądku. Mimo to całka bazuje na zdrowym rozsądku — Newton wykorzystał nasze wrodzone przeczucie dotyczące obiektów poruszających się w linii prostej, sformalizował je, a następnie na podstawie tej formalnej struktury zbudował uniwersalny opis ruchu. Gdy znasz teorię Newtona, możesz wykorzystać ją w rozwiązywaniu problemów, od których z pewnością rozbolałaby Cię głowa, gdybyś nie miał do dyspozycji odpowiednich równań. Na tej samej zasadzie tworzymy mentalne systemy oceny prawdopodobieństwa uzyskania określonego wyniku. Są one jednak ułomne i mało wiarygodne, szczególnie gdy dotyczą skrajnie rzadkich zdarzeń. W takich sytuacjach wspomagamy swoją intuicję ugruntowanymi twierdzeniami oraz technikami i fabrykujemy z nich matematyczną teorię prawdopodobieństwa.

Specjalistyczny język, jakim rozmawiają ze sobą matematycy, to potężne narzędzie do precyzyjnego i szybkiego przekazywania skomplikowanych idei. Ale jego obcość może u osób z zewnątrz wywoływać wrażenie zamkniętego systemu myślenia, niedostępnego dla normalnych ludzi. W rzeczywistości jest jednak wręcz przeciwnie.

Matematykę można przyrównać do napędzanej atomowo protezy, którą przytwierdza się do swojego zdrowego rozsądku, potęgując jego zasięg i możliwości. Mimo tej potęgi i mimo czasem odpychających i abstrakcyjnych formuł i równań kryjące się za tym wszystkim myślenie nie różni się aż tak bardzo od sposobu, w jaki analizujemy bardziej praktyczne problemy. W wyobrażeniu tego pomaga mi obraz Iron Mana, robiącego pięścią dziurę w ścianie. Z jednej strony przebijająca ścianę siła nie pochodzi z mięśni Tony’ego Starka, lecz jest wynikiem działania serii perfekcyjnie zsynchronizowanych serwomechanizmów, napędzanych przez kompaktowy generator cząsteczek beta. Z drugiej strony, z punktu widzenia Tony’ego Starka, to on uderza pięścią w ścianę, dokładnie tak, jak zrobiłby to bez zbroi, tyle że ze znacznie większą siłą.

Parafrazując Clausewitza: matematyka jest jedynie rozwinięciem zdrowego rozsądku przy użyciu innych środków.

Bez oferowanych przez nią rygorystycznych struktur zdrowy rozsądek może sprowadzić Cię na manowce. To właśnie przytrafiło się wojskowym, którzy chcieli opancerzyć te elementy samolotu, które były już wystarczająco opancerzone. Ale bez zdrowego rozsądku — bez tych ciągłych konfrontacji między abstrakcyjnym myśleniem a przeczuciami dotyczącymi ilości, czasu, przestrzeni, ruchu, zachowania i niedomówień — matematyka byłaby tylko sterylnym ćwiczeniem sprowadzającym się do przestrzegania reguł i księgowania. Innymi słowy, byłaby tym, czym wydaje się być marudnym studentom.

To prawdziwe zagrożenie. John von Neumann w swoim eseju z 1947 roku The Mathematician ostrzegał:

Oddalanie się matematyki od empirycznych korzeni lub, co gorsza, tworzenie drugich i trzecich generacji tylko pośrednio zainspirowanych ideami zakorzenionymi w „rzeczywistości” niesie ze sobą bardzo poważne zagrożenie. Matematyka staje się coraz bardziej czysto estetyczną sztuką dla sztuki. Nie ma w tym niczego złego, jeśli jest otoczona przez powiązane dziedziny o wciąż obowiązujących ścisłych więziach empirycznych lub jeśli mają na nią wpływ ludzie o wyjątkowo dobrze wyrobionym guście. Istnieje jednak niebezpieczeństwo podążenia po linii najmniejszego oporu i że główny konar w oddaleniu od korzeni rozszczepi się na mnóstwo nieistotnych gałęzi, a dyscyplina zamieni się w zdezorganizowaną masę skomplikowanych szczegółów. Innymi słowy, wraz z oddalaniem się od empirycznych źródeł i tworzeniem coraz bardziej „abstrakcyjnych” odgałęzień rośnie groźba, że matematyka ulegnie degeneracji[4].





Z JAKĄ MATEMATYKĄ SPOTKASZ SIĘ W TEJ KSIĄŻCE?


Jeśli znasz matematykę wyłącznie ze szkoły, wmówione Ci wyobrażenie na jej temat jest bardzo ograniczone i pod pewnymi istotnymi względami fałszywe. Matematyka w szkole składa się w znacznej mierze z sekwencji niepodważalnych faktów i pochodzących od wyższego autorytetu reguł, których się nie kwestionuje. Kwestie matematyczne są przedstawiane jako ustalone raz na zawsze.

To jednak nieprawda. Nawet w tak prostych przedmiotach badań jak liczby i figury geometryczne nasza ignorancja znacznie przewyższa naszą wiedzę. A to, co wiemy, wymagało olbrzymiego wysiłku, licznych dysput i wielu momentów zwątpienia. Lecz cały ten pot i chaos zostały w Twoim podręczniku starannie pominięte.

Są oczywiście fakty i fakty. Nigdy nie było zbyt wielkich kontrowersji wokół tego, że 1+2 = 3. Pytanie o to, w jaki sposób i czy w ogóle da się tak naprawdę udowodnić, że 1+2 = 3, które oscyluje niepewnie między matematyką a filozofią, to zupełnie inna historia — wrócimy do tego na końcu książki. To obliczenie jest jednak ze wszech miar prawdziwe. Chaos jest związany z czymś innym i kilka razy pojawi się w naszym polu widzenia.

Fakty matematyczne mogą być proste lub skomplikowane oraz płytkie lub głębokie. Tym samym możemy podzielić matematyczny wszechświat na cztery ćwiartki.




Podstawowe fakty arytmetyczne w rodzaju 1+2 = 3 są proste i płytkie. Podobnie jak podstawowe tożsamości, takie jak sin(2x)=2 sin x cos x lub rozwiązanie równania kwadratowego. Przekonanie się do nich jest nieco trudniejsze niż do 1+2 = 3, nie wymagają jednak żadnych niezwykłych konceptualnych sztuczek.

W ćwiartce „skomplikowane i płytkie” znajdują się takie problemy jak mnożenie dziesięciocyfrowych liczb, obliczanie zawiłej całki oznaczonej lub — po kilku latach studiów — wyznaczenie śladu Frobeniusa formy modularnej o przewodniku 2377. Można sobie wyobrazić taką sytuację, w której z jakiegoś powodu musisz umieć rozwiązać takie problemy, i nie sposób zaprzeczyć, że zrobienie tego tylko za pomocą kartki i długopisu byłoby albo irytujące, albo niemożliwe. A w przypadku tego ostatniego problemu samo zrozumienie pytania wymaga dość dobrego wykształcenia w tej dziedzinie. Nie zmienia to faktu, że znajomość takich zagadnień nie wzbogaca zbytnio Twojej wiedzy o świecie.

Ćwiartka „skomplikowane i głębokie” to miejsce, w którym zawodowi matematycy, tacy jak ja, starają się spędzać jak najwięcej czasu. To tu zamieszkują najsłynniejsze twierdzenia i hipotezy: hipoteza Riemanna, wielkie twierdzenie Fermata[5], hipoteza Poincarégo, P kontra NP, twierdzenie Gödla… Każde z tych twierdzeń zawiera idee o głębokim, fundamentalnym znaczeniu, które są jednocześnie oszałamiająco piękne i brutalnie techniczne, i każde z nich mogłoby być bohaterem osobnej książki12.

Ale ta książka jest inna. W tej książce będziemy trzymać się lewej górnej ćwiartki: prostej i głębokiej. Zajmiemy się ideami matematycznymi, których znajomość jest pożyteczna i do których można podejść bezpośrednio, niezależnie od tego, czy w matematycznej edukacji zatrzymałeś się na początkach algebry, czy zaszedłeś znacznie dalej. Nie są to jednak „zwykłe fakty” w rodzaju prostych twierdzeń arytmetycznych. Są to zasady, których zastosowanie wykracza daleko poza to, co powszechnie uważa się za matematyczne. To użyteczne narzędzia, a właściwe korzystanie z nich pomaga w unikaniu pomyłek.

Czysta matematyka to coś w rodzaju klasztoru — ciche miejsce starannie odseparowane od zgubnych wpływów chaosu i nieładu świata. Dorastałem w otoczeniu takich murów. Moim matematyczni znajomi dawali się skusić fizyce, genomice czy mrocznej sztuce zarządzania funduszami hedgingowymi, ale ja nie czułem pociągu do takich ekscesów[6]. Po skończeniu studiów poświęciłem się teorii liczb, nazwanej przez Gaussa „królową matematyki” — najczystszej z dziedzin, świętemu ogrodowi w samym środku klasztoru, gdzie rozważa się te same kwestie na temat liczb i równań, które spędzały sen z powiek Grekom i mimo upływu dwudziestu pięciu stuleci nie stały się ani odrobinę mniej irytujące.

Początkowo zajmowałem się teorią liczb w klasyczny sposób, przeprowadzając dowody twierdzeń dotyczących sum czwartych potęg liczb naturalnych, co teoretycznie, pod naciskiem, mogłem wyjaśnić rodzinie w święta, nawet jeśli nie byłbym w stanie wyjaśnić im, jak udowodniłem to, co udowodniłem. Szybko jednak wciągnęły mnie jeszcze bardziej abstrakcyjne kwestie i problemy — rezydualne modularne reprezentacje Galois, kohomologia schematów moduli, układy dynamiczne na przestrzeniach jednorodnych i tego typu rzeczy — o których nie da się porozmawiać z kimś spoza archipelagu seminaryjnych korytarzy i salonów dla kadry wykładowczej na Oksfordzie, w Princeton, Kioto, Paryżu czy w Madison w Wisconsin, gdzie jestem w tej chwili profesorem. Gdy Ci powiem, że są to ekscytujące, znaczące i piękne problemy, które nigdy mi się nie znudzą, będziesz mi musiał uwierzyć na słowo, gdyż potrzeba naprawdę długiej edukacji, żeby w ogóle dotrzeć do poziomu umożliwiającego zobaczenie przedmiotu badań.

Stało się jednak coś dziwnego. Im bardziej abstrakcyjne i odległe od życia były moje badania, tym wyraźniej zacząłem dostrzegać matematykę w zewnętrznym świecie. Nie reprezentacje Galois czy kohomologie, lecz idee prostsze, starsze i równie głębokie, należące do północnozachodniej ćwiartki konceptualnego kwadratu. Zacząłem pisać artykuły do magazynów i czasopism o tym, jak wygląda świat przez matematyczne okulary, i ku swojemu zdziwieniu odkryłem, że chętnie czytali je nawet ludzie, którzy twierdzili, że nienawidzą matmy. To były swego rodzaju lekcje, ale zupełnie inne od tego, co robiliśmy na salach wykładowych.

Miały one jednak jedną wspólną cechę z zajęciami dla studentów: czytelnik dostawał zadanie do wykonania. Wróćmy do von Neumanna i The Mathematician:

Trudniej zrozumieć mechanikę samolotu i teorie dotyczące sił, które go unoszą i napędzają, niż wsiąść do niego jako pasażer czy nawet go pilotować. Dziwne jest oczekiwanie, że ktoś zrozumie proces bez wcześniejszego gruntownego zaznajomienia się z nim, korzystania z niego i zasymilowania go na instynktownym i empirycznym poziomie.

Inaczej mówiąc, trudno zrozumieć matematykę, jeśli się jej nie praktykuje. Droga do geometrii nie jest usiana różami, jak Euklides powiedział Ptolemeuszowi lub, w zależności od źródła, Menaichmos powiedział Aleksandrowi Wielkiemu. (Powiedzmy sobie szczerze: słynne maksymy przypisywane starożytnym uczonym są prawdopodobnie zmyślone, ale to nie umniejsza ich walorów edukacyjnych).

To nie jest ten rodzaj książki, w której zamaszystymi i niejasnymi gestami wskazuję w stronę monumentów wielkich matematyków i każę Ci podziwiać je ze stosownie dużej odległości. Tutaj pobrudzisz sobie ręce. Zdarzy nam się coś policzyć. Pojawi się parę wzorów i równań, gdy będą mi potrzebne, żeby czegoś dowieść. Nie musisz jednak znać się na żadnej wyższej matematyce — wystarczy zwykła arytmetyka, chociaż będę wyjaśniał sporo wykraczających poza nią kwestii. Narysuję parę prymitywnych wykresów czy tabel. Natrafisz na tematy ze szkoły, wyciągnięte poza ich typowe środowisko. Zobaczysz na przykład, w jaki sposób funkcje trygonometryczne opisują wzajemną zależność dwóch zmiennych, co rachunek całkowy ma do powiedzenia na temat relacji zjawisk liniowych i nieliniowych oraz jak wykorzystać równanie kwadratowe jako kognitywny model w procesie badawczym. Sporadycznie natrafisz tu na matematykę wypchniętą na studia lub jeszcze dalej — na przykład kryzys w teorii zbiorów, który służy jako metafora praworządności Sądu Najwyższego Stanów Zjednoczonych i sędziowania w baseballu, ostatnie odkrycia w analitycznej teorii liczb, demonstrujące współzależność między strukturą i przypadkowością, czy teorie informacji i struktur kombinatorycznych, za pomocą których wyjaśnię, jak grupa studentów MIT wygrała miliony dolarów dzięki zrozumieniu zasad loterii stanowej w Massachusetts.

Od czasu do czasu trafisz na plotkę o jakimś wybitnym matematyku lub na odrobinę spekulacji filozoficznych. Raz czy dwa razy zdarzy się mi nawet coś dowieść. Nie będzie jednak żadnych zadań domowych i sprawdzianów.

[1] Ojca Paula.



[2] Savage był niemal zupełnie niewidomy, widział tylko kątem jednego oka, a w pewnym okresie życia przez sześć miesięcy żywił się wyłącznie pemikanem, żeby udowodnić tezę dotyczącą eksploracji Arktyki. Pomyślałem, że warto o tym wspomnieć.



[3] Trzeba zaznaczyć, że indeks S&P 500 poradził sobie jeszcze lepiej, odnotowując w tym samym okresie wzrost o 212,5%.



[4] Von Neumann miał bardzo zdecydowany pogląd na istotę matematyki, trzeba jednak przyznać, że określenie matematyki uprawianej wyłącznie dla walorów estetycznych jako „zdegenerowanej” może budzić niesmak. Von Neumann napisał to dziesięć lat po wystawie entartene Kunst („zdegenerowanej sztuki”) w hitlerowskim Berlinie, której celem było pokazanie, że „sztuka dla sztuki” jest czymś uwielbianym przez Żydów i komunistów i ma na celu podminowanie zdrowej „realistycznej” sztuki pożądanej w odrodzonym germańskim państwie. Te okoliczności wzbudzają chęć obrony matematyki, która pozornie nie ma żadnego celu. Komentator o innych zapatrywaniach politycznych niż moje mógłby w tym momencie wspomnieć o sumiennej pracy von Neumanna nad skonstruowaniem i produkcją broni atomowej.



[5] Które wśród naukowców jest aktualnie nazywane twierdzeniem Wilesa, ponieważ Andrew Wiles je udowodnił (z krytycznym wsparciem Richarda Taylora), a Fermat nie. Podejrzewam jednak, że tradycyjna nazwa nie zostanie przez to wyparta.



[6] Muszę jednak przyznać, że w młodości przez pewien czas sądziłem, że chcę być Poważnym Powieściopisarzem. Napisałem nawet Poważną Powieść zatytułowaną The Grasshopper King, która została opublikowana. Odkryłem jednak, że połowę każdego dnia poświęconego na Poważne Powieściopisarstwo spędzałem na bezcelowym kręceniu się po domu i żałowaniu, że nie rozwiązuję jakichś problemów matematycznych.





Część I

Liniowość


W tej części książki: krzywa Laffera; wyjaśnienie rachunku różniczkowego i całkowego na jednej stronie; prawo wielkich liczb; różne analogie terrorystyczne; „W 2048 roku każdy w USA będzie miał nadwagę”; dlaczego Dakota Południowa ma więcej zachorowań na raka mózgu niż Dakota Północna; problemy z malejącymi wielkościami; nawyk definiowania.





Rozdział 1.

Mniej jak Szwecja


Kilka lat temu w gorączce sporów wokół ustawy Affordable Care Act Daniel J. Mitchell z libertariańskiego Cato Institute zamieścił na blogu wpis o prowokacyjnym tytule: „Dlaczego Obama dąży do tego, żeby Ameryka była bardziej jak Szwecja, skoro Szwecja stara się być mniej jak Szwecja?”1.

Dobre pytanie! W takim ujęciu wygląda to faktycznie dość paskudnie. Panie Prezydencie, dlaczego płyniemy pod prąd historii, skoro bogate państwa na całym świecie — nawet niewielka, lecz zamożna Szwecja — ograniczają kosztowne wydatki socjalne i podatki? „Szwedzi wyciągnęli wnioski ze swoich błędów i dążą do zredukowania rozmiaru administracji — napisał Mitchell. — Dlaczego więc amerykańscy politycy chcą powtórzyć te błędy?”.

Odpowiedź na to pytanie wymaga posłużenia się ekstremalnie naukowym wykresem. Oto świat według Cato Institute:




Oś X reprezentuje szwedzkość[1], a oś Y jakąś jednostkę dobrobytu. Nie zamartwiajmy się metodą obliczania tych wskaźników, bo chodzi o to, że zgodnie z wykresem im bardziej jesteś szwedzki, w tym gorszym stanie jest Twój kraj. Szwedzi już to sobie uzmysłowili, dlatego rozpoczęli wspinaczkę na północny wschód, w stronę wolnorynkowego dobrobytu. Natomiast Obama zsuwa się w niewłaściwą stronę.

A teraz narysujmy ten wykres jeszcze raz, tym razem z punktu widzenia osób bliższych poglądom ekonomicznym prezydenta Obamy niż poglądom członków Cato Institute.




Wynika z niego zupełnie inna rada na temat szwedzkości Ameryki. Gdzie znajduje się szczyt dobrobytu? W punkcie, który jest bardziej szwedzki niż Ameryka, lecz mniej szwedzki niż Szwecja. Jeśli ten wykres jest poprawny, Obama jak najbardziej słusznie dąży w stronę państwa opiekuńczego, chociaż Szwedzi starają się ograniczyć jego rozmach.

Różnica między tymi dwoma wykresami to różnica między liniowością a nieliniowością, co jest jednym z podstawowych rozróżnień w matematyce. Wykres Cato jest prostą[2], a drugi wykres — ten z garbem w środku — nią nie jest. Prosta jest specyficznym rodzajem krzywej, lecz nie jedynym, a do tego ma wszelkiego rodzaju własności specjalne, które niekoniecznie cechują wszystkie krzywe. Najwyższy punkt na fragmencie prostej — w tym przypadku maksymalny dobrobyt — musi się mieścić na jednym lub drugim końcu. Proste takie już są. Jeśli niskie podatki sprzyjają dobrobytowi, to jeszcze niższe podatki jeszcze bardziej go zwiększą. I skoro Szwecja dąży do deszwecjacji, to my też powinniśmy przyjąć ten sam kurs. Oczywiście ktoś o nastawieniu anty-Cato mógłby postulować, że prosta jest pochylona w drugą stronę i biegnie z południowego zachodu na północny wschód. W takiej sytuacji nie istnieje coś takiego jak zbyt duże wydatki socjalne, a optymalną polityką jest maksymalizacja szwedzkości.

Zazwyczaj, gdy ktoś obwieszcza, że „myśli nieliniowo”, tworzy sobie podkład pod przeprosiny za to, że zgubił coś, co mu pożyczyłeś. Ale rzeczywistość jest nieliniowa! W tym kontekście nieliniowe myślenie jest kluczowe, bo nie wszystkie krzywe są liniami prostymi. Wystarczy chwila namysłu, by uświadomić sobie, że ekonomiczne krzywe wyglądają tak jak drugi rysunek, a nie pierwszy. Są nieliniowe. Rozumowanie Mitchella to przykład złudzenia liniowości. Mitchell, chociaż nie przyznaje tego wprost, zakłada, że wykres dobrobytu wygląda tak jak fragment prostej na pierwszym rysunku. W takim przypadku ograniczanie przez Szwedów infrastruktury socjalnej oznacza, że USA powinno zrobić to samo.

Jeżeli jednak zgadzasz się z tym, że istnieją takie skrajności jak zbyt opiekuńcze i zbyt mało opiekuńcze państwo, to wiesz, że wykres z linią prostą jest błędny. Obowiązuje tu nieco bardziej złożona reguła niż „więcej wydatków socjalnych — źle, mniej wydatków socjalnych — dobrze”. Generałowie, którzy konsultowali się z Abrahamem Waldem, byli dokładnie w tej samej sytuacji: zbyt małe opancerzenie sprawi, że samoloty będą zestrzeliwane, a zbyt duże opancerzenie sprawi, że samolot nie będzie w stanie latać. W takiej sytuacji nie zastanawiamy się nad tym, czy zwiększanie opancerzenia jest dobre, czy złe, bo może być i takie, i takie, w zależności od jakiego poziomu opancerzenia wychodzimy. Prawidłowa odpowiedź jest ulokowana gdzieś pomiędzy, a oddalanie się od niej w jedną i drugą stronę jest złą strategią.

Nieliniowe myślenie podpowiada, że wybór drogi zależy od tego, gdzie aktualnie się znajdujesz.

Ten wniosek nie jest nowy. Już od czasów starożytnych Rzymian znana jest maksyma Horacego: Est modus in rebus, sunt certi denique fines, quos ultra citraque nequit consistere rectum („Wszystko miarę ma swoją, pewna jest wszędzie granica; za nią, bądź w lewo, bądź w prawo, zacność się ostać nie może”)2. Nieco później Arystoteles zaobserwował w Etyce nikomachejskiej, że niewłaściwe jest zarówno przejadanie, jak i niedojadanie. Optimum leży gdzieś pośrodku, gdyż zależność między jedzeniem i zdrowiem nie jest liniowa, lecz nieliniowa, co oznacza, że obie skrajności przynoszą równie opłakane skutki.





EKONOMIA COŚ TAM „DOO”


Jak na ironię, ekonomiczni konserwatyści w rodzaju członków Cato powinni rozumieć to lepiej niż ktokolwiek inny. Drugi z narysowanych przeze mnie wykresów — ten ekstremalnie naukowy garb — nie jest niczym nowym. To krzywa Laffera, która przez blisko czterdzieści lat odgrywała centralną rolę w polityce ekonomicznej Republikanów. Za czasów Reagana stała się ona czymś tak powszechnym w ekonomicznym dyskursie, że Ben Stein wykorzystał ją w swoim słynnym przygnębiającym wykładzie w Wolnym dniu pana Ferrisa Buellera:

Ktoś z was wie, co to jest? Klasa? Ktokolwiek?… Ktokolwiek? Czy ktoś z was już to widział? Krzywa Laffera. Czy ktoś wie, co z niej wynika? Mówi o tym, że w tym punkcie na krzywej dochodów otrzymamy dokładnie taką samą sumę dochodów jak w tym punkcie. To bardzo kontrowersyjne. Czy ktoś z was wie, jak wiceprezydent Bush nazwał to w 1980 roku? Ktokolwiek? Ekonomia coś tam „doo”. Ekonomia „voodoo”.

Legenda o krzywej Laffera brzmi mniej więcej tak: pewnej nocy 1974 roku Arthur Laffer, wówczas profesor Uniwersytetu Chicago, jadł obiad z Dickiem Cheneyem, Donaldem Rumsfeldem i redaktorem „Wall Street Journal” Jude’em Wanniskim w pewnej wytwornej hotelowej restauracji w Waszyngtonie. Spierali się o plany podatkowe prezydenta Forda i w końcu, jak zwykle dzieje się, gdy spory intelektualistów zaogniają się do czerwoności, Laffer poprosił o serwetkę[3] i narysował obrazek, który wyglądał mniej więcej tak:




Pozioma oś to stawka opodatkowania, a pionowa reprezentuje dochody państwa z tytułu pobieranych podatków. Skrajny lewy punkt to stawka 0%, przy której państwo z zasady nie uzyskuje żadnych dochodów z podatków. Skrajny prawy punkt to stawka 100% — niezależnie od tego, ile zarobisz, i niezależnie od tego, czy prowadzisz własną firmę, czy pracujesz dla kogoś, wszystkie Twoje pieniądze wędrują do kasy państwa.

Która jest pusta. Bo jeśli państwo zabiera każdy grosz Twojej wypłaty za przychodzenie do szkoły i prowadzenie lekcji, sprzedaż sprzętu lub pracę menedżera średniego szczebla, to po co w ogóle miałbyś się wysilać? W skrajnym prawym punkcie ludzie po prostu nie pracują. Albo robią to w nieoficjalnych ekonomicznych niszach, do których nie sięgają macki poborców podatkowych. Dochody państwa również są zerowe.

Między tymi punktami, w środkowej części krzywej, w której płacimy podatki w wysokości większej od zera i mniejszej od zabierania wszystkiego — czyli innymi słowy, w realnym świecie — państwo uzyskuje pewien dochód3.

Oznacza to, że krzywa przedstawiająca zależność między stawką podatków a dochodami państwa nie może być linią prostą. Gdyby była, maksymalny dochód uzyskiwałoby się w jednym ze skrajnych punktów wykresu, lecz w obu tych punktach dochód jest zerowy. Jeśli aktualna stawka podatkowa jest bliska zeru, to znajdujesz się z lewej strony wykresu, a podniesienie podatków zwiększy ilość pieniędzy na programy socjalne, jak można by się domyślać. Jeżeli jednak stawka jest bliska 100%, podniesienie podatków zmniejszy wpływy do budżetu. Jeśli jesteś po prawej stronie od szczytowego punktu krzywej Laffera i chcesz zmniejszyć deficyt bez obcinania wydatków, to musisz się uciec do prostego i politycznie pożądanego rozwiązania — obniżyć podatki, a tym samym zwiększyć wpływy. Wybór drogi zależy od tego, gdzie aktualnie się znajdujesz.

Gdzie więc się aktualnie znajdujemy? W tym miejscu sprawa robi się śliska. W 1974 roku stawka podatkowa dla najlepiej zarabiających wynosiła 70% i pogląd umieszczający USA na prawym zboczu krzywej Laffera wydawał się przekonujący — szczególnie dla garstki szczęściarzy, którzy kwalifikowali się do tej stawki, czyli zarabiali więcej niż 200 000 dolarów rocznie[4]. Krzywa zyskała szczególnie zagorzałego zwolennika w osobie Wanniskiego, który w 1978 roku spopularyzował tę teorię w książce o dość pretensjonalnym tytule The Way the World Works (czyli „Zasada rządząca światem”)[5]. Wanniski był gorliwym wyznawcą i w odpowiednich proporcjach łączył zapalczywość z polityczną ostrożnością, co sprawiało, że ludzie otwierali się na idee uważane za skrajne nawet przez zwolenników obniżenia podatków. Nie przejmował się, że może zostać uznany za stukniętego. „Co tak naprawdę oznacza »stuknięty«? — pytał w wywiadzie. — Thomas Edison był stuknięty, Leibniz był stuknięty, Galileusz był stuknięty i tak dalej, i tak dalej. Każdy, kto wnosi do konwencjonalnej wiedzy nową ideę, która znacznie wykracza poza obowiązujący sposób myślenia, jest uważany za stukniętego”4.

(Na marginesie: warto zaznaczyć, że ludzie proponujący idee wykraczające poza obowiązujący sposób myślenia, którzy porównują się do Edisona i Galileusza, nigdy nie mają racji. Przynajmniej raz w miesiącu dostaję utrzymany w tym stylu list, zazwyczaj od ludzi mających „dowody” na prawdziwość matematycznych twierdzeń, których fałszywość została dowiedziona setki lat temu. Zaręczam Ci, że Einstein nie chodził między ludźmi, mówiąc: „Słuchajcie, wiem, że ta teoria względności brzmi szalenie, ale to samo mówiono o Galileuszu!”).

Krzywa Laffera ze swoją kompaktową wizualną reprezentacją i możliwą do przyjęcia, choć przeczącą intuicji, prowokacyjnością okazała się łatwym argumentem dla polityków dążących do obcięcia stawek podatkowych. Trafnie ujął to ekonomista Hal Varian: „Wyjaśnisz to kongresmenowi w sześć minut, a on będzie w stanie mówić o tym przez sześć miesięcy”5. Wanniski został doradcą najpierw Jacka Kempa, a potem Ronalda Reagana. Ten drugi w latach czterdziestych był zamożnym gwiazdorem kina, co niewątpliwie wpłynęło na wyznawane czterdzieści lat później poglądy ekonomiczne. Jego kierownik budżetu David Stockman wspomina:

Reagan zawsze powtarzał, że doszedł do wielkich pieniędzy, kręcąc filmy w trakcie drugiej wojny światowej. W tamtym okresie wojenny podatek wyrównawczy sięgał 90%. „Po zrobieniu czterech filmów wpadało się w górne widełki — opowiadał Reagan. — Dlatego zwykle po tylu filmach rzucaliśmy pracę i rozjeżdżaliśmy się po kraju”. Wysokie podatki zmuszały do rezygnacji z pracy. Niskie podatki do niej zachęcają. Wiedział to z własnego doświadczenia6.

W dzisiejszych czasach trudno byłoby znaleźć szanowanego ekonomistę, który uważałby, że jesteśmy na prawym zboczu krzywej Laffera. Prawdopodobnie nie ma się czemu dziwić, skoro najwyższe dochody są opodatkowane stawką 35%, która w kontekście niemal całego dwudziestego wieku jest wręcz absurdalnie niska. Ale nawet w czasach Reagana znajdowaliśmy się przypuszczalnie po lewej stronie krzywej. Greg Mankiw, ekonomista na Harvardzie i republikanin zasiadający w radzie doradców ekonomicznych drugiego prezydenta Busha, napisał w swoim podręczniku mikroekonomii:

Historia nie potwierdziła hipotezy Laffera o tym, że obniżenie podatków doprowadzi do zwiększenia wpływów budżetowych. Gdy Reagan obniżył podatki po objęciu urzędu, wpływy do budżetu się zmniejszyły, a nie zwiększyły. W latach 1980 – 1984 dochód z opodatkowania płac (na osobę, skorygowany o wskaźnik inflacji) spadł o 9%, mimo że średnia płaca (na osobę, skorygowana o wskaźnik inflacji) wzrosła w tym okresie o 4%. Ale po podjęciu pewnego politycznego kursu trudno było się z niego wycofać7.

Trzeba jednak oddać część sprawiedliwości zwolennikom ekonomii podaży. Przede wszystkim celem polityki fiskalnej nie powinna być maksymalizacja dochodów państwa. Milton Friedman, którego poznaliśmy, gdy w czasach drugiej wojny światowej opracowywał tajne raporty wojskowe dla Statistical Research Group, to późniejszy noblista i doradca prezydentów oraz zagorzały propagator obniżenia podatków i libertariańskiego sposobu myślenia. Jego słynny slogan na temat podatków brzmiał następująco: „Jestem za obniżaniem podatków w każdych okolicznościach, pod jakimkolwiek pretekstem, z jakiegokolwiek powodu, gdzie tylko się da”. Jego zdaniem nie powinniśmy celować w szczytowy punkt krzywej Laffera, w którym państwo uzyskuje najwyższe możliwe dochody. Pieniądze zebrane przez władzę to pieniądze wydane przez władzę, czyli, w jego odczuciu, wydane raczej źle niż dobrze.

Bardziej umiarkowani zwolennicy ekonomii podaży w rodzaju Mankiwa argumentują, że obniżenie podatków zwiększa motywację do pracy i zakładania firm, co prowadzi do budowania silniejszej i bardziej rozwiniętej ekonomii, nawet jeśli bezpośrednim skutkiem obniżenia podatków jest zmniejszenie wpływów budżetowych i zwiększenie deficytu. Z kolei ekonomista o bardziej redystrybucjonistycznych zapatrywaniach mógłby powiedzieć, że obniżenie podatków to broń obosieczna, bo gdy rząd ma mniejsze możliwości rozwijania infrastruktury i prawa chroniącego przed oszustwami, to wprowadza mniej rozwiązań sprzyjających dynamicznemu rozwojowi biznesu.

Mankiw zwraca także uwagę na to, że wpływy budżetowe pochodzące od najbogatszych — tych, którzy płaciliby 70% podatku od dochodów wykraczających poza wyznaczony poziom — faktycznie wzrosły po obniżeniu podatków przez Reagana[6]. To prowadzi do dość kłopotliwego wniosku: aby zwiększyć wpływy do budżetu, należy po pierwsze, podnieść podatki dla klasy średniej, bo ci ludzie nie mają wyboru i muszą pracować, a po drugie, obciąć je najbogatszym, którzy mogą zagrozić ograniczeniem swojej aktywności ekonomicznej, gdy rząd wyznaczy stawkę uważaną przez nich za zbyt wysoką. Jeśli tak jest w istocie, wielu liberałów musiałoby przyznać rację Miltonowi Friedmanowi: być może maksymalizowanie dochodów państwa nie jest najlepszym celem.

Mankiw podsumowuje to dość grzecznie: „Argumentacja Laffera nie jest tak kompletnie bezpodstawna”. Moim zdaniem Laffer zasługuje na większe uznanie! Jego rysunek stworzył nieodwracalne matematyczne podwaliny pod wniosek, że zależność między stawką podatku i dochodami państwa niekoniecznie jest liniowa. Nie oznacza to, rzecz jasna, że tworzy taki ładny wzgórek, jak narysował Laffer, i równie dobrze może wyglądać jak trapezoid,




plecy dromadera,




lub totalna wolna amerykanka[7] 8.




Zawsze jednak jeśli w jakimś miejscu się wznosi, to musi gdzieś opadać. Jest więc coś takiego jak przesadna szwedzkość. Z tym stwierdzeniem nie polemizowałby żaden ekonomista. Co więcej, jak podkreślał sam Laffer, to zjawisko było znane wielu naukowcom przed nim. Dla większości ludzi jednak nie jest ono oczywiste — a przynajmniej nie do momentu zobaczenia serwetkowego wykresu. Laffer doskonale zdawał sobie sprawę z tego, że jego krzywa nie daje podstaw do oceny, czy jakakolwiek ekonomia w dowolnym okresie ma zbyt duże podatki, czy nie. To dlatego jego szkic nie zawiera żadnych liczb. Poproszony w trakcie przesłuchania w Kongresie o dokładne wyznaczenie optymalnej stawki podatkowej, przyznał: „Nie potrafię jej dokładnie wyznaczyć, mogę jedynie powiedzieć, jakie są jej cechy”9. Z krzywej Laffera wynika tylko tyle, że obniżenie podatków mogłoby w pewnych okolicznościach zwiększyć wpływy do budżetu, ale dokładne wyznaczenie tych okoliczności wymaga drobiazgowej i trudnej pracy empirycznej, której wyniki nie zmieściłyby się na serwetce.

Krzywa Laffera nie jest zła — zły jest tylko użytek, jaki ludzie z niej robią. Wanniski i politycy, którzy podążyli za jego zaczarowanym fletem, padli ofiarą najstarszego fałszywego sylogizmu świata:

To mogłoby być prawdą, że obniżenie podatków zwiększy wpływy do budżetu.

Chciałbym, żeby to było prawdą, że obniżenie podatków zwiększy wpływy do budżetu.

Więc to jest prawdą, że obniżenie podatków zwiększy wpływy do budżetu.

[1] Pod pojęciem „szwedzkość” rozumiemy tu „przesadę w świadczeniach społecznych i podatkach”, a nie inne cechy Szwecji, takie jak „całodobowa dostępność śledzi w tuzinie różnych sosów”, co jest oczywiście stanem rzeczy, do którego powinny dążyć wszystkie nacje.



[2] Lub fragmentem prostej, jeśli się upierasz. Nie będę się kłócił o takie szczegóły.



[3] Laffer dementuje ten fragment opowieści, twierdząc, że w restauracji były wytworne materiałowe serwetki, których nigdy nie ośmieliłby się zapaskudzić jakimiś ekonomicznymi bazgrołami.



[4] Czyli między pół miliona a milionem dzisiejszych dolarów.



[5] Przyganiał kocioł garnkowi.



[6] Trudno jednak powiedzieć, czy wynikało to z tego, że bogaci poczuli większy zapał do pracy, jak sugeruje teoria ekonomii podaży.



[7] Lub, co jeszcze bardziej prawdopodobne, może nie tworzyć żadnej krzywej, co Martin Gardner zilustrował szyderczą „neolafferowską krzywą” w swojej zjadliwej krytyce teorii ekonomii podaży.





Rozdział 2.

Prosta lokalnie, krzywa globalnie


Prawdopodobnie uważasz, że żaden matematyk nie musi Ci mówić, iż nie wszystkie krzywe są prostymi, bo to oczywiste. Ale myślenie liniowe otacza nas na każdym kroku. Posługujesz się nim za każdym razem, gdy wnioskujesz, że jeśli dobrze jest coś mieć, to posiadanie tego w większej ilości jest jeszcze lepsze. Wykorzystują to polityczni krzykacze. „Wspierasz interwencję wojskową w Iranie? Podejrzewam, że nie miałbyś też nic przeciwko najeżdżaniu każdego państwa, które się z nas naigrywa!” Albo odwrotnie: „Dialog z Iranem? Pewnie myślisz też, że Adolf Hitler został po prostu źle zrozumiany”.

Dlaczego to argumentowanie jest tak popularne, skoro wystarczy chwila namysłu, aby uświadomić sobie jego błędność? Dlaczego ktoś miałby chociaż przez chwilę sądzić, że wszystkie krzywe są prostymi, skoro oczywiste jest, że nie są?

Przyczyną może być to, że w pewnym sensie są. Wszystko zaczyna się od Archimedesa.





WYCZERPANIE


Jaka jest powierzchnia poniższego koła?

We współczesnym świecie ten problem jest tak banalny, że można by go umieścić w egzaminie SAT[1]. Powierzchnia koła to πr2, promień r w tym przypadku jest równy 1, więc pole powierzchni to π. Ale dwa tysiące lat temu było to kłopotliwe i nierozwiązane pytanie, na tyle istotne, że przyciągnęło uwagę Archimedesa.




Dlaczego było trudne? Bo Grecy nie patrzyli na π w taki sposób jak my teraz. Zrozumiałymi dla nich liczbami były te, za pomocą których dało się coś policzyć: 1, 2, 3, 4… Lecz pierwszy poważny sukces greckiej geometrii — twierdzenie Pitagorasa[2] — zrujnował im ten system.

Oto rysunek:




Twierdzenie Pitagorasa mówi, że kwadrat przeciwprostokątnej — czyli boku, który na naszym rysunku jest narysowany ukośnie i nie styka się z kątem prostym — jest równy sumie kwadratów dwóch pozostałych boków. W naszym przypadku kwadrat przeciwprostokątnej to 12+12 = 1+1 = 2. Oznacza to, że przeciwprostokątna jest dłuższa niż 1, lecz krótsza niż 2 (co widać gołym okiem bez jakiegokolwiek twierdzenia). Ale problemem dla Greków było nie to, że wynik nie jest liczbą całkowitą. Może mierzymy wszystko w niewłaściwych jednostkach? Wybierzmy taką jednostkę, żeby przyprostokątne miały długość pięciu jednostek. Gdy zmierzymy przeciwprostokątną według tej miary, okaże się, że ma długość bliską siedmiu jednostkom. Bliską — ale ciut większą. Kwadrat przeciwprostokątnej będzie równy:

52+52 = 25+25 = 50

A gdyby przeciwprostokątna wynosiła siedem, to jej kwadrat miałby 7·7 = 49 jednostek.

Jeżeli natomiast przyprostokątna miałaby długość dwunastu jednostek, przeciwprostokątna wynosiłaby niemal siedemnaście jednostek, ale jednak odrobinę mniej, bo 122+122 = 288, natomiast 172 to 289, czyli dosłownie o włos więcej.




W pewnym momencie, około piątego wieku przed Chrystusem, jeden z członków szkoły pitagorejskiej dokonał szokującego odkrycia: nie da się zbudować takiego równoramiennego trójkąta prostokątnego, w którym długość wszystkich boków byłaby wyrażona liczbą całkowitą. Współcześni ludzie powiedzieliby: „pierwiastek z 2 jest liczbą niewymierną”, co oznacza, że nie jest ułamkiem żadnych dwóch liczb całkowitych. Ale pitagorejczycy nie mogli tak powiedzieć. Skąd mieliby to wiedzieć? Ich wyobrażenie o ilości bazowało na zależnościach między liczbami całkowitymi. Dla nich to odkrycie oznaczało, że długość przeciwprostokątnej w ogóle nie jest liczbą.

Wywołało to zamęt. Musisz pamiętać o tym, że pitagorejczycy byli bardzo dziwaczni. Ich filozofię można określić jako zlepek czegoś, co nazywamy dziś matematyką, czegoś, co nazywamy dziś religią, i czegoś, co nazywamy dziś chorobą psychiczną. Wierzyli na przykład, że nieparzyste liczby są dobre, a parzyste złe, że po drugiej stronie słońca znajduje się taka sama planeta jak nasza, o nazwie Antychton, oraz że nie powinno się jeść bobu, gdyż w jego nasionach przebywają dusze zmarłych ludzi. O samym Pitagorasie mówiono, że potrafi rozmawiać z bydłem (kazał zwierzętom nie jeść bobu) i że był jednym z bardzo niewielu starożytnych Greków, którzy nosili spodnie1.

Matematyka pitagorejczyków była nieodłącznie związana z ich ideologią. Historia pierwiastka z 2 (raczej nieprawdziwa, ale daje wyobrażenie o ich stylu życia) mówi, że jego niewymierność odkrył pitagorejczyk o imieniu Hippasus, którego w nagrodę za dowiedzenie tak irytującego twierdzenia utopiono w morzu.

Ale twierdzenia nie da się utopić. Spadkobiercy pitagorejczyków, tacy jak Euklides i Archimedes, zdawali sobie sprawę z tego, że trzeba zakasać rękawy i mierzyć wszystko, nawet jeśli trzeba w tym celu wykroczyć poza bezpieczne mury ogrodu liczb całkowitych. Nikt nie wiedział, czy powierzchnię koła da się wyrazić wyłącznie za pomocą liczb całkowitych[3]. Trzeba było jednak budować koła i napełniać silosy[4], więc nie było ucieczki przed obliczeniami.

Eudoksos z Knidos wpadł na pomysł, jak to zrobić, a Euklides opisał go w dwunastym tomie Elementów. Dopiero jednak Archimedes w pełni rozwinął tę ideę. Dzisiaj to podejście nazywamy metodą wyczerpania. Zaczyna się tak.




Rysunek przedstawia kwadrat wpisany w koło. Każdy jego wierzchołek styka się z krawędzią koła, ale poza nią nie wykracza. Po co coś takiego robić? Bo koła są tajemnicze i onieśmielające, a kwadraty są łatwe. Gdy masz przed sobą kwadrat o boku X, jego powierzchnia to X razy X — dlatego zresztą operację mnożenia liczby przez samą siebie nazywamy podnoszeniem do kwadratu! To podstawowa reguła w życiu matematyka: jeśli wszechświat stawia przed Tobą ciężki problem, rozwiąż zamiast niego łatwiejszy z nadzieją, że uproszczona wersja okaże się na tyle bliska oryginalnemu problemowi, że wszechświat tego nie zauważy.

Kwadrat wpisany w koło dzieli się na cztery trójkąty, a dokładnie trójkąty równoramienne — takie same, jakie rysowaliśmy nieco wcześniej[5]. Pole kwadratu jest więc równe czterokrotności pola trójkąta. Taki trójkąt można także uzyskać, przecinając kwadrat o bokach 1×1 po przekątnej, jak kanapkę z tuńczykiem.




Powierzchnia kanapki z tuńczykiem to 1·1 = 1, więc powierzchnia trójkątnej części kanapki to 1/2, natomiast powierzchnia kwadratu wpisanego w koło to 4·1/2, czyli 2.

Nawiasem mówiąc, załóżmy, że nie znasz twierdzenia Pitagorasa. Wiesz co? Już je znasz! A przynajmniej wiesz, co ma do powiedzenia na temat tego konkretnego trójkąta prostokątnego. Bo trójkąt tworzący dolną połowę kanapki z tuńczykiem jest dokładnie taki sam jak północnozachodnia ćwiartka wpisanego kwadratu. A jego przekątna to bok tegoż kwadratu. Jeśli więc podniesiesz ją do kwadratu, uzyskasz pole powierzchni tego kwadratu, czyli 2. Bo przekątna ma taką długość, która po podniesieniu do kwadratu daje 2, czyli mówiąc prościej, jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z 2.

Ten kwadrat mieścił się całkowicie w kole, a więc skoro jego powierzchnia wynosi 2, to powierzchnia koła musi wynosić co najmniej 2.

Narysujmy inny kwadrat.




To jest kwadrat opisany na kole, który także styka się z jego obrzeżem tylko w czterech punktach. Ma bok o długości 2, więc jego powierzchnia wynosi 4. Zawiera w sobie koło, co oznacza, że jego pole nie jest większe niż 4.

Wykazanie, że pi to liczba między 2 a 4, nie jest być może zbyt imponujące, ale Archimedes dopiero się rozgrzewał. Wróćmy teraz do naszego wpisanego kwadratu i zaznaczmy nowe punkty na okręgu w połowie odległości między każdą parą sąsiednich rogów. Uzyskamy osiem jednakowo oddalonych od siebie punktów. Gdy je połączymy, uzyskamy ośmiokąt foremny wpisany w koło, czyli w naukowym języku „znak stopu”.




Obliczenie powierzchni takiego ośmiokąta jest nieco trudniejsze, lecz oszczędzę Ci trygonometrii. Istotne jest to, że mamy do czynienia z prostymi liniami i kątami, a nie z krzywymi, więc da się to zrobić metodami dostępnymi dla Archimedesa. Powierzchnia jest równa dwukrotności pierwiastka kwadratowego z 2, czyli około 2,83.

Tak samo możemy zabawić się z ośmiokątem opisanym na kole.




Jego powierzchnia wynosi 8(√2 − 1), czyli nieco ponad 3,31.

Powierzchnia koła jest więc większa od 2,83 i mniejsza od 3,31.

Dlaczego mielibyśmy na tym poprzestać? Gdy wyznaczymy punkty między każdą parą sąsiednich wierzchołków obu ośmiokątów (wpisanego i opisanego), uzyskamy szesnastokąt. Po rozwiązaniu kolejnych trygonometrycznych łamigłówek dowiemy się, że pole koła jest większe niż 3,06 i mniejsze niż 3,18. Podzielmy te figury jeszcze raz, aby otrzymać trzydziestodwukąt, a potem znowu i znowu. W końcu uzyskamy coś takiego:




Chwileczkę, czy to nie czasem koło? Oczywiście, że nie! To wielokąt foremny o 65 536 bokach. Kto by pomyślał, prawda?

Eudoksos i Archimedes trafnie zauważyli, że nie ma znaczenia, czy mamy do czynienia z okręgiem, czy z wielokątem o bardzo wielu krótkich bokach, bo ich powierzchnie są wystarczająco bliskie dla wszelkich celów, jakie można sobie wyobrazić. Powierzchnia różnicy między kołem a wielokątem została „wyczerpana” przez nasze niezmordowane iteracje. Owszem, obrzeże koła jest krzywą, lecz każdy jej fragment można oddać w przybliżeniu jako linię prostą, tak jak niewielki skrawek powierzchni ziemi, na którym stoimy, można w wiarygodnym uproszczeniu uznawać za idealnie płaski[6].

Zapamiętaj to hasło: prosta lokalnie, krzywa globalnie.

Albo wyobraź sobie, że opuszczasz się z dużej wysokości na gigantyczny okrąg. Początkowo będziesz widział całą figurę:




Potem już tylko fragment łuku:




I jeszcze mniejszy fragment:




W końcu po kolejnych przybliżeniach uzyskasz widok, który będzie nie do odróżnienia od linii prostej. Mrówka na okręgu, świadoma tylko swojego najbliższego otoczenia, uzna go za prostą, podobnie jak człowiek na powierzchni ziemi (chyba że jest na tyle bystry, żeby zwrócić uwagę na to, że obiekty na horyzoncie wyłaniają się od wierzchołków), który myśli, że jest na płaszczyźnie.





STRONA, NA KTÓREJ UCZĘ RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO I CAŁKOWEGO


Nauczę Cię teraz rachunku całkowego. Gotów? Idea, za którą powinniśmy podziękować Izaakowi Newtonowi, jest taka, że okrąg nie jest niczym szczególnym. Każda krzywa, którą oglądamy w odpowiednim przybliżeniu, wygląda jak prosta. Nie ma znaczenia, jak bardzo jest zagmatwana i splątana. Ona po prostu nie ma żadnych rogów.

Gdy wystrzelisz pocisk, jego tor lotu wygląda tak:




Pocisk poleci w górę, a potem spadnie po parabolicznym łuku. Za sprawą przyciągania ziemskiego wszystkie krzywe ruchu są skierowane w stronę ziemi — to jedna z podstawowych prawd naszego życia. Jeśli jednak przybliżymy bardzo krótki fragment toru, krzywa zacznie wyglądać tak:




A potem tak:




Tor lotu pocisku, podobnie jak okrąg, zaczyna przypominać linię prostą biegnącą w górę pod pewnym kątem. Wynikające z grawitacji zakrzywienie stanie się w końcu zbyt małe, by je dostrzec, co nie znaczy rzecz jasna, że zniknie. Przybliżanie coraz mniejszego fragmentu coraz bardziej zbliży go do prostej. Coraz bardziej i bardziej…

Czas na konceptualny przeskok. Otóż Newton powiedział: słuchajcie, pójdźmy na całość. Zredukujmy pole widzenia do granic możliwości, żeby było mniejsze niż jakikolwiek wyobrażalny rozmiar, ale nie zerowe. Obserwujemy tor pocisku nie w jakimś krótkim odcinku czasu, lecz w pojedynczej chwili. Prawie prosta linia stała się teraz naprawdę prosta. Jej nachylenie to w taksonomii Newtona fluksja, którą dzisiaj nazywamy pochodną.

Archimedes nie był gotów na taki przeskok. Wiedział, że wielokąty z coraz krótszymi bokami w coraz większym stopniu przypominają okrąg, ale nigdy nie stwierdził, że okrąg jest wielokątem o nieskończenie wielu nieskończenie krótkich bokach.

Niektórych współczesnych Newtonowi badaczy także nie przekonywała ta droga. Najsłynniejszym przeciwnikiem był George Berkeley, który opisał newtonowskie nieskończone powiększenie z prześmiewczym sarkazmem, niestety nieobecnym w dzisiejszym dyskursie matematycznym: „Czym są owe fluksje? Prędkościami zanikających przyrostów. A czym są owe zanikające przyrosty? Nie są ani wielkościami skończonymi, ani wielkościami nieskończenie małymi, ani w ogóle niczym. Czy nie powinniśmy ich nazywać zjawami minionych wielkości?”2.

Mimo to rachunek różniczkowy i całkowy faktycznie działa. Jeśli zakręcisz kamieniem na sznurku wokół głowy i nagle go wypuścisz, to wystrzeli wzdłuż liniowej trajektorii ze stałą prędkością[7] dokładnie w wyliczonym dla danego momentu kierunku. To kolejne spostrzeżenie Newtona: obiekty w ruchu poruszają się po linii prostej, chyba że wmiesza się jakaś siła popychająca je w którąś stronę. To jeden z powodów, dla których myślenie liniowe jest dla nas tak naturalne. Wyobrażenia na temat czasu i ruchu są kształtowane przez zjawiska, jakie obserwujemy w świecie. Zanim jeszcze Newton wyłożył swoje prawa, ludzie przeczuwali, że obiekty zazwyczaj poruszają się po linii prostej, jeśli nie mają powodu, by poruszać się inaczej.





ZANIKAJĄCE PRZYROSTY I NIEPOTRZEBNE KOMPLIKACJE


Krytycy Newtona mieli swoje racje, bo jego konstrukcja pochodnej nie była zgodna z tym, co nazwalibyśmy dziś ścisłą matematyką. Problem leży w kwestii nieskończonej małości, która już od tysięcy lat spędzała matematykom sen z powiek. Kłopoty zaczęły się od Zenona z Elei, filozofa greckiego żyjącego pięć wieków przed Chrystusem. Zenon z Elei specjalizował się w zadawaniu pozornie niewinnych pytań o świat fizyczny, z których nieuchronnie wynikał potężny filozoficzny zamęt.

Jego najsłynniejszy paradoks wygląda mniej więcej tak: postanowiłem wybrać się do lodziarni. Z całą pewnością nie zdobędę lodów, dopóki nie pokonam połowy odległości. Gdy już ją pokonam, nie dotrę do sklepu, dopóki nie pokonam połowy pozostałej odległości. Po jej pokonaniu nadal zostanie mi połowa reszty odległości. I tak dalej, i tak dalej. Z każdą chwilą będę coraz bliżej lodziarni, ale niezależnie od liczby etapów tego procesu nie znajdę się w sklepie. Zawsze będę oddalony od moich dwóch gałek z żelkami o niewielką, lecz niezerową odległość. Zenon z Elei wnioskuje z tego, że spacer do lodziarni jest niemożliwy. Argumentacja działa identycznie niezależnie od celu wyprawy: nie da się przejść przez ulicę, nie da się wykonać jednego kroku, nie da się pomachać ręką. Wszelki ruch jest niemożliwy.

Zgodnie z legendą Diogenes ze szkoły cyników obalił argumentację Zenona, wstając i przechodząc na drugi koniec pomieszczenia, co w całkiem przekonujący sposób dowodzi tego, że ruch jest jednak możliwy. Z argumentacją Zenona coś jest więc nie tak. Na czym jednak polega jej błędność?

Wyraźmy tę wyprawę do lodziarni w liczbach. Najpierw musisz pokonać połowę odległości. Potem połowę pozostałej odległości, czyli 1/4 całej odległości. Zostanie Ci 1/4. Połowa z tego to 1/8, następnie 1/16 i 1/32. Dochodzenie do lodziarni wygląda więc tak:

1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+…

Gdy dodasz dziesięć etapów tej sekwencji, uzyskasz około 0,999. Po dodaniu dwudziestu etapów wynik stanie się bliższy 0,999999. Innymi słowy, znajdziesz się naprawdę, ale to naprawdę blisko lodziarni. Niezależnie jednak od liczby dodanych etapów nigdy nie uzyskasz 1.

Paradoks Zenona bardzo przypomina w tym inną zagadkę: czy ułamek dziesiętny 0,99999… jest równy 1?

Widziałem, jak ludzie niemal dostawali gorączki w związku z tym problemem[8]. Jest on namiętnie dyskutowany w internecie, począwszy od fanpage’ów World of Warcraft, a skończywszy na forach poświęconych Ayn Rand[9]. W kwestii Zenona intuicyjnie ciśnie nam się na usta odpowiedź: „No jasne, że koniec końców dostaniesz te lody”. Jednak w tym przypadku intuicja kieruje nas w przeciwną stronę. Większość ludzi, gdy się ich przyciśnie, przyzna, że 0,9999… nie równa się 13. Z całą pewnością nie wygląda jak 1. Wygląda na mniejszą liczbę. Ale niewiele mniejszą! Wygląda na liczbę, która, podobnie jak zenonowski miłośnik lodów, zbliża się do swojego celu, najwyraźniej jednak nigdy do niego nie dotrze.

Mimo to nauczyciele z całego świata, łącznie ze mną, odpowiedzieliby: „Nie, to jest 1”.

W jaki sposób mógłbym przekonać kogoś do swojej racji? Jednym z dobrych trików jest następująca argumentacja. Każdy wie, że:

0,33333… = 1/3

Pomnóż obie strony przez 3, a uzyskasz:

0,99999… = 3/3 = 1

Jeśli to Cię nie przekonuje, pomnóż 0,99999… przez 10, co w praktyce oznacza przesunięcie przecinka o jedno miejsce w prawo.

10·(0,99999…) = 9,99999…

Teraz odejmij od obu stron tę irytującą dziesiętną końcówkę:

10·(0,99999…)–1·(0,99999…) = 9,99999…–0,99999…

Po lewej stronie otrzymamy 9·(0,99999…), gdyż 10 razy coś minus to coś równa się 9 razy owo coś. Natomiast po prawej stronie udało nam się pozbyć tej okropnej dziesiętnej końcówki i otrzymaliśmy zwykłe 9. Uzyskaliśmy więc coś takiego:

9·(0,99999…) = 9

Jeśli 9 razy coś jest równe 9, to to coś musi wynosić 1, czyż nie?

Te dowody zwykle wystarczają, by przekonać rozmówców. Bądźmy jednak szczerzy: czegoś im brakuje. Nie uśmierzają irytującej niepewności wywoływanej przez twierdzenie, że 0,99999… = 1, lecz stanowią swego rodzaju algebraiczne zastraszanie. „Zgadzasz się, że 1/3 to 0,33333…, co? No, przyznaj to!”

Albo jeszcze gorzej: być może przekonał Cię mój dowód z mnożeniem przez 10. Co w takim razie powiesz o poniższej sytuacji? Jaki jest wynik tego działania?

1+2+4+8+16+… ?

W tym przypadku „…” oznacza: „wykonuj dodawanie w nieskończoność, dokładając za każdym razem dwukrotnie większą liczbę od poprzedniej”. Wynik takiego działania musi z całą pewnością być nieskończony! Ale noszący wszelkie znamiona poprawności dowód podobny do tego dotyczącego liczby 0,99999… zdaje się sugerować coś innego. Pomnóż tę sumę przez 2, a otrzymasz:

2·(1+2+4+8+16…) = 2+4+8+16+…

Wygląda to jak nasze pierwotne działanie — i dokładnie tak jest: to nasza suma (1+2+4+8+16…), tyle że bez 1 na początku, co oznacza, że 2·(1+2+4+8+16…) to o 1 mniej niż (1+2+4+8+16…). Innymi słowy:

2·(1+2+4+8+16…)–1·(1+2+4+8+16…) = –1

Z lewej strony po odjęciu zostanie nam po prostu pierwotne działanie, uzyskamy więc:

1+2+4+8+16… = –1

Czy w to właśnie chcesz wierzyć?[10] 4 Że dodawanie w nieskończoność coraz większych i większych liczb sprawi, że wylądujesz w świecie liczb ujemnych?

To nie koniec szaleństwa. Jaki jest wynik takiego nieskończonego działania?

1–1+1–1+1–1+…

Ktoś mógłby powiedzieć, że da się to uprościć:

(1–1)+(1–1)+(1–1)+… = 0+0+0+…

W związku z tym mamy do czynienia z dodawaniem zer, więc nawet jeśli będzie ich nieskończenie wiele, wynik wyniesie 0. Z drugiej strony 1–1+1 to to samo co 1–(1–1), gdyż minus i minus dają plus. Gdy zastosujemy to podejście do całości, całe działanie możemy zapisać jako:

1–(1–1)–(1–1)–(1–1)… = 1–0–0–0…

Na tej samej zasadzie udowodniliśmy, że wynik wyniesie 1! To jaki jest w końcu wynik, 0 czy 1? A może przez połowę czasu będzie to 0, a przez drugą połowę 1? Wygląda na to, że wszystko zależy od punktu, w którym się zatrzymasz — ale nieskończone dodawanie i odejmowanie nie ma przecież końca!

Powstrzymaj się jeszcze z decyzją, bo to nie koniec. Załóżmy, że wynikiem naszego tajemniczego działania jest T.

T = 1–1+1–1+1–1+…

Pomnóżmy obie strony przez –1:

–T = –1+1–1+1…

Wynik działania po prawej stronie jest jednak dokładnie taki sam jak wynik pierwotnego działania równego T po zabraniu pierwszej 1, innymi słowy:

–T = –1+1–1+1… = T–1

To oznacza, że –T = T–1. To równanie jest spełnione tylko wtedy, gdy T jest równe 1/2. Czy dodawanie i odejmowanie nieskończenie wielu liczb całkowitych może w jakiś magiczny sposób doprowadzić do uzyskania ułamka? Jeśli odpowiesz, że nie, masz prawo patrzeć nieco podejrzliwie na tego typu argumentację. Zwróć jednak uwagę na to, że niektórzy ludzie odpowiedzą twierdząco, tak jak włoski matematyk i ksiądz Guido Grandi, którego nazwiskiem zazwyczaj określa się ciąg 1–1+1–1+1–1+…5. W pracy z 1703 roku nie tylko dowodzi, że wynik tego ciągu wynosi 1/2, ale i konkluduje, że to tajemnicze rozwiązanie reprezentuje stworzenie świata z niczego. (Bez obaw, nie zamierzam podążać tą ścieżką). Inni znani matematycy tamtych czasów, tacy jak Leibniz i Euler, podzielali jego zdanie co do wyniku, nawet jeśli nie do końca zgadzali się z jego ostateczną interpretacją.

Prawdą jest jednak, że odpowiedź na zagadkę liczby 0,999… (oraz paradoks Zenona z Elei i ciąg Grandiego) ukrywa się nieco głębiej. Nie musisz ulegać mojemu algebraicznemu zastraszaniu. Możesz na przykład upierać się, że 0,999… nie jest równe 1, lecz 1 minus jakaś nieskończenie mała wielkość. Na tej samej zasadzie mógłbyś twierdzić, że 0,333… nie równa się dokładnie 1/3, lecz jest o nieskończenie małą wielkość mniejsze. Przeforsowanie tego punktu widzenia wymaga nieco determinacji, ale nie jest to niewykonalne. Kiedyś miałem ucznia o imieniu Brian, który, niezadowolony z klasowych definicji, opracował na własną rękę sporą część tej teorii, nazywając nieskończenie małe wielkości „liczbami Briana”.

Brian nie był pierwszym człowiekiem, który do tego doszedł. Istnieje osobna gałąź matematyki specjalizująca się w analizowaniu tego typu liczb, nazywana analizą niestandardową. Dzięki tej teorii, opracowanej w połowie dwudziestego wieku przez Abrahama Robinsona, niedorzeczne zdaniem Berkeleya „zanikające przyrosty” w końcu nabrały sensu. Ceną, jaką musisz zapłacić (albo — z innego punktu widzenia — korzyścią, jaką uzyskasz), jest pojawienie się mnóstwa nowego rodzaju liczb. Nie tylko nieskończenie małych, lecz także nieskończenie dużych, we wszelkich barwach i odmianach[11].

Jak się okazało później, Brianowi się poszczęściło — miałem znajomego w Princeton, Edwarda Nelsona, który był ekspertem w dziedzinie analizy niestandardowej. Umówiłem ich ze sobą, żeby Brian mógł się dowiedzieć czegoś więcej na ten temat. Ed powiedział mi później, że spotkanie nie skończyło się najlepiej. Gdy tylko Ed wyjaśnił, że nieskończenie małe wielkości nie mogą być nazywane liczbami Briana, Brian stracił całe zainteresowanie.

(Lekcja moralna: ludzie, którzy interesują się matematyką dla sławy i chwały, szybko się poddają).

W każdym razie my nie jesteśmy ani trochę bliżej rozwiązania naszego problemu. Co to tak naprawdę jest 0,999…? 1? A może liczba o nieskończenie małą liczbę mniejsza niż 1 — liczbę, która została odkryta zaledwie wiek temu?

Prawidłową odpowiedzią jest przerobienie pytania. Co to tak naprawdę jest 0,999…? Możemy przedstawić tę liczbę w postaci sumy:

0,9+0,09+0,009+0,0009+…

Co to jednak oznacza? Naszym problemem jest ten nieznośny wielokropek. Dodawanie dwóch, trzech czy nawet stu składników nie budzi żadnych kontrowersji. Jest to po prostu matematyczny zapis procesu fizycznego, który doskonale rozumiemy: weź sto grup czegoś, zbierz je razem i sprawdź, ile masz elementów. Ale nieskończona liczba grup to zupełnie inna historia. W realnym świecie nie da się wziąć nieskończonej liczby grup żadnych przedmiotów. Jaka jest liczbowa wartość nieskończonej sumy? Nie ma żadnej — dopóki jej nie podamy. Na tym polegała błyskotliwa innowacja Augustina Louisa Cauchy’ego, który w latach dwudziestych dziewiętnastego wieku wprowadził do rachunku różniczkowego i całkowego pojęcie granicy[12].

Najlepiej wyjaśnił to brytyjski teoretyk liczb G.H. Hardy w swojej książce z 1949 roku Divergent Series:

Współcześni matematycy mają świadomość, że zestaw symboli nie ma „znaczenia”, dopóki nie zostanie ono nadane przez definicję. Ale w osiemnastym wieku nie było to oczywiste nawet dla największych uczonych. Oni nie mieli nawyku definiowania, a słowa typu „przez X rozumiemy Y” nie były dla nich czymś naturalnym. (…) Przed pojawieniem się Cauchy’ego matematycy zamiast zastanawiać się nad pytaniem: „Jak powinniśmy zdefiniować 1–1+1–1+…?”, próbowali odpowiedzieć na to, czym jest 1–1+1–1+…. Taki nawyk prowadził do niepotrzebnych komplikacji i kontrowersji, które często były czysto werbalne.

To nie są jakieś relatywistyczne matematyczne brednie. To, że możemy przypisać dowolne znaczenie jakiemuś zestawowi symboli matematycznych, nie oznacza, że musimy to zrobić. W matematyce, podobnie jak w życiu, istnieją dobre i złe decyzje. W kontekście tej dziedziny nauki dobre wybory to takie, które rozwiązują niepotrzebne zawiłości, nie tworząc przy tym nowych.

Suma 0,9+0,09+0,009+… jest coraz bliższa 1 z każdym dołożonym wyrazem. Ale nigdy nie wykroczy dalej. Niezależnie od tego, jak ciasnym kordonem otoczymy liczbę 1, suma po pewnej skończonej liczbie kroków zbliży się do liczby 1 i już się nie oddali. Cauchy stwierdził, że w takich okolicznościach możemy po prostu zdefiniować wartość tej nieskończonej sumy jako 1. A następnie dołożył wszelkich starań, żeby udowodnić, że przyjęcie takiej definicji nie skutkuje pojawieniem się wszędzie paskudnych sprzeczności. Ta ciężka praca analityczna doprowadziła do powstania struktur, dzięki którym newtonowski rachunek różniczkowy i całkowy stał się w pełni ścisły. Dzisiaj, gdy mówimy, że krzywa wygląda lokalnie jak prosta o pewnym kącie nachylenia, mamy na myśli mniej więcej coś takiego: im większe powiększenie, tym krzywa bardziej przypomina wspomnianą linię prostą. Teoria Cauchy’ego nie wymaga wprowadzania nieskończenie małych liczb ani żadnej innej koncepcji, od której sceptycy bledną.

Ma to rzecz jasna swoją cenę. Problem z 0,999… polega na tym, że wprawia intuicję w konfuzję. Chcielibyśmy, żeby suma nieskończonej liczby wyrazów poddawała się takim arytmetycznym manipulacjom, jakie przeprowadzaliśmy na początku rozdziału, co wymaga przyjęcia, że 0,999… jest równe 1. Z drugiej strony wolelibyśmy, żeby każda liczba była reprezentowana przez unikalny ciąg cyfr, lecz wtedy nie można twierdzić, że tę samą liczbę można zapisać albo jako 1, albo jako 0,999… w zależności od upodobania. Nie sposób spełnić obu tych pragnień jednocześnie, więc z jednego trzeba zrezygnować. W podejściu Cauchy’ego, które w pełni udowodniło swoją przydatność przez dwieście lat istnienia, rezygnujemy z unikalności liczb. Nie przejmujemy się istnieniem dwóch różnych ciągów liter (czyli słów), które oznaczają tę samą rzecz, więc nie powinniśmy się także zamartwiać tym, że dwa różne ciągi cyfr mogą się odnosić do tej samej liczby.

Ciąg Grandiego (1–1+1–1+…) jest jednym z takich, których nie obejmuje teoria Cauchy’ego. Należy on do ciągów rozbieżnych, którym poświęcona jest praca Hardy’ego. Norweski matematyk Niels Henrik Abel, jeden z pierwszych entuzjastów podejścia Cauchy’ego, napisał w 1828 roku: „Ciągi rozbieżne są wymysłem szatana i haniebnym jest posługiwanie się nimi w jakimkolwiek celu”[13]. Pogląd Hardy’ego, zbieżny z naszym aktualnym punktem widzenia, nie ma w sobie takiego ekstremizmu: istnieją ciągi rozbieżne, którym powinniśmy przyporządkować jakąś wartość, i istnieją takie, którym nie powinniśmy przyporządkowywać wartości, w zależności od kontekstu, w którym się pojawią. Współcześni matematycy powiedzieliby, że jeśli chcemy zdefiniować wartość ciągu Grandiego, powinniśmy wybrać liczbę 1/2, bo, jak się okazuje, wszystkie interesujące teorie nieskończonych działań matematycznych albo przyporządkowują mu wartość 1/2, albo — jak teoria Cauchy’ego — odmawiają przyporządkowania im jakiejkolwiek wartości[14].

Precyzyjny zapis definicji Cauchy’ego wymaga dość sporo pracy. Jest to szczególnie prawdziwe w odniesieniu do samego Cauchy’ego, który nie do końca wyraził swoje pomysły w schludny, nowoczesny sposób[15]. (Swoją drogą, w matematyce najschludniejsze wyjaśnienie teorii rzadko pochodzi od jej twórcy). Cauchy był zagorzałym konserwatystą i rojalistą, lecz w matematyce okazał się dumnym rewolucjonistą i utrapieniem dla akademickich autorytetów. Gdy zrozumiał, jak wyeliminować niebezpieczne nieskończenie małe wielkości, stronniczo przepisał swój program nauczania w École Polytechnique, żeby wyrazić swoje pomysły. To rozwścieczyło wszystkie osoby w jego otoczeniu: zdezorientowanych studentów, którzy zapisali się na kurs rachunku różniczkowego i całkowego, a nie na seminarium o najnowszej czystej matematyce; kolegów, którzy czuli, że studenci uczelni nie potrzebowali rygoru i poziomu wiedzy Cauchy’ego; oraz administratorów, których nakazy trzymania się oficjalnego programu nauczania zostały kompletnie zignorowane. Władze uczelni narzuciły odgórnie nowy program nauczania, w którym posługiwano się tradycyjnym podejściem do rachunku całkowego i różniczkowego, uwzględniającym nieskończenie małe wielkości, i wysyłały na wykłady Cauchy’ego kontrolerów, którzy mieli sprawdzać, czy się dostosował. Ale Cauchy się nie dostosował. Nie interesowały go potrzeby inżynierów. Interesowała go prawda6.

Trudno bronić stanowiska Cauchy’ego na gruncie pedagogicznym. Ale ja go rozumiem. Jednym z najlepszych przeżyć w matematyce jest chwila, gdy dosięga Cię to niezaprzeczalne wrażenie, że zrozumiałeś coś we właściwy sposób od początku do końca. Czegoś takiego nie przeżyłem w żadnej innej sferze życia umysłowego. A gdy wiesz, jak robić coś we właściwy sposób, trudno się zmusić do wyjaśniania tego niepoprawną metodą. Dla niektórych upartych jednostek jest to wręcz niemożliwe.

[1] Egzamin przeprowadzany w części stanów USA po ukończeniu szkoły średniej — przyp. tłum.



[2] Nawiasem mówiąc, nie wiemy, kto pierwszy udowodnił twierdzenie Pitagorasa, ale badacze są niemal pewni, że nie był to Pitagoras. Tak naprawdę poza tym, że sześć wieków przed Chrystusem żył uczony mężczyzna o takim imieniu, który zdobył sławę, nie wiemy o nim nic. Najważniejsze relacje na temat jego życia i pracy powstały niemal osiem wieków po jego śmierci, a wtedy prawdziwy Pitagoras został już całkowicie wyparty przez mit Pitagorasa, który był swego rodzaju podsumowaniem filozofii badaczy nazywających się pitagorejczykami.



[3] Nie da się, ale aż do osiemnastego wieku nikt nie potrafił tego udowodnić.



[4] Tak naprawdę silosy nie miały okrągłego przekroju aż do początku dwudziestego wieku, gdy profesor Uniwersytetu Wisconsin H.W. King zaprojektował oczywisty dziś dla nas cylindryczny przekrój, żeby uporać się z problemem pleśni w narożnikach.



[5] Należałoby raczej powiedzieć, że każdy z czterech trójkątów powstał przez obrót pierwotnego trójkąta równoramiennego na płaszczyźnie. Przyjmujemy jako pewnik, że taka operacja nie zmienia powierzchni figury.



[6] Przynajmniej jeśli, podobnie jak ja, mieszkasz na środkowym zachodzie USA.



[7] Nie uwzględniając wpływu grawitacji, oporu powietrza itd., itp. Ale na krótkim odcinku takie liniowe uproszczenie jest wystarczające.



[8] Trzeba jednak przyznać, że byli to nastolatkowie na letnim obozie matematycznym.



[9] Ayn Rand (1905 – 1982) — amerykańska pisarka i filozof, twórczyni filozofii obiektywizmu — przyp. tłum.



[10] Żeby nie pozostawiać Cię w zawieszeniu, powiem, że w pewnym kontekście, czyli w kontekście liczb 2-adycznych, ta szalona argumentacja jest całkowicie poprawna. Jeśli jesteś entuzjastą teorii liczb, więcej na ten temat znajdziesz w przypisach końcowych.



[11] Liczby nadrzeczywiste, opisywane przez Johna Conwaya, są, zgodnie ze swoją nazwą, szczególnie uroczymi i dziwnymi przykładami takich liczb. Stanowią wymyślną hybrydę liczb i gier strategicznych, a ich głębia nie została jeszcze w pełni zbadana. Dobrym wprowadzeniem w ten temat jest praca Berlekampa, Conwaya i Guya Winning Ways, która przy okazji zawiera sporo informacji o bogatym matematycznym świecie teorii gier.



[12] Podobnie jak w przypadku wszystkich matematycznych przełomów, teoria granicy Cauchy’ego miała wiele zapowiadających ją poprzedniczek. Jedną z nich były wyznaczone przez d’Alemberta oszacowania reszt w szeregach dwumianowych. Nie zmienia to jednak faktu, że koncepcja Cauchy’ego stała się punktem przełomowym wyznaczającym początek nowoczesnej analizy.



[13] Zabawne, gdy weźmiemy pod uwagę zaproponowane przez Grandiego teologiczne wyjaśnienie przyczyny istnienia ciągów rozbieżnych.



[14] Cytując słynne słowa Lindsay Lohan: „Nie ma żadnej granicy!” (z filmu Wredne dziewczyny — przyp. tłum.).



[15] Jeśli miałeś do czynienia na matematyce z epsilonem i deltą, to widziałeś już potomków definicji Cauchy’ego.





Rozdział 3.

Wszyscy mają nadwagę


Komik Eugene Mirman miał w swoim programie dowcip o statystyce. Mówił ludziom:

— Czytałem, że 100% Amerykanów to Azjaci.

— Ale Eugene — sprzeciwiał się jego zdezorientowany towarzysz. — Ty nie jesteś Azjatą.

Wypowiadana przez Eugena z niewzruszoną pewnością siebie puenta brzmiała:

— Czytałem, że jestem!

Przypomniał mi się ten dowcip, gdy trafiłem w magazynie „Obesity” na artykuł z kłopotliwym pytaniem w tytule: „Czy wszyscy Amerykanie będą mieli nadwagę lub otyłość?”1. Jakby tego było mało, artykuł dostarcza odpowiedzi na to retoryczne pytanie: „Tak — w 2048 roku”.

W 2048 roku będę miał siedemdziesiąt siedem lat i mam nadzieję nie być otyłym. Ale czytałem, że będę!

Jak się domyślasz, artykuł z „Obesity” spotkał się z szerokim odzewem. W ABC News ostrzegano przed „apokalipsą otyłości”2. W „Long Beach Press-Telegram” zadowolono się prostym nagłówkiem: „Jesteśmy coraz grubsi”3. Artykuł doprowadził do wywołania nowej fali wiecznie zmieniającego się niepokoju, który od zawsze służy Amerykanom do oceny stanu naszej moralności. Zanim się urodziłem, chłopcy zapuszczali długie włosy, więc wieszczono, że kraj przejmą komuniści. Gdy byłem mały, za dużo graliśmy w gry na automatach, co stanowiło niezbity dowód na to, że uprzemysłowieni Japończycy zostawią nas daleko w tyle. Teraz jemy za dużo fast foodów, dlatego wszyscy umrzemy jako osoby słabe i niemobilne, w otoczeniu pustych kubełków po kurczakach, rozwaleni na kanapach, z których od dłuższego czasu nie będziemy w stanie się podnieść. Zgodnie z tym artykułem taka przyszłość była dowiedzionym naukowo faktem.

Mam dobre wieści. W 2048 roku nie wszyscy będziemy otyli4. Dlaczego? Bo nie każda krzywa jest prostą.

Newton nauczył nas jednak, że każda krzywa jest dość bliska prostej. Na tym polega idea stojąca u podstaw regresji liniowej — techniki, która dla nauk statystycznych jest niczym śrubokręt dla napraw domowych. To narzędzie, którego niemal na pewno użyjesz, niezależnie od zadania, jakie masz wykonać. Za każdym razem, gdy czytasz w gazecie, że ludzie mający więcej kuzynów są szczęśliwsi, że kraje z większą liczbą barów Burger King mają luźniejsze zasady moralne, że obniżenie o połowę dawki przyjmowanej niacyny podwaja ryzyko grzybicy stóp albo że każde dodatkowe 10 000 dolarów rocznego dochodu zwiększa o 3% prawdopodobieństwo głosowania na Republikanów[1], masz do czynienia z rezultatem zastosowania regresji liniowej.

Jak działa ta metoda? Musisz mieć dwie kwestie, które chcesz do siebie odnieść, na przykład wysokość czesnego na uniwersytecie i średni wynik na egzaminie SAT przyjmowanych do niego uczniów. Na logikę wydaje się, że szkoły z wyższym wskaźnikiem SAT powinny być droższe, ale przegląd danych pokazuje, że nie jest to uniwersalna zasada. Na ulokowanym na obrzeżach Burlington w Karolinie Północnej Elon University średni wynik SAT z matematyki i kompetencji językowych wyniósł 1217 przy czesnym 20 441 dolarów rocznie. Nearby Guilford College z Greensboro jest nieco droższy (23 420 dolarów rocznie), ale studenci pierwszego roku mieli średnio zaledwie 1131 punktów na egzaminie SAT.

Mimo to, gdy przyjrzysz się większej liczbie szkół — załóżmy, że będzie to trzydzieści jeden prywatnych uczelni, które przekazały dane o czesnym i wynikach SAT do North Carolina Career Resource Network5 w 2007 roku — zauważysz wyraźny trend.

Każda kropka na wykresie reprezentuje jedną z uczelni. Te dwie kropki wysoko w prawym rogu z wysokim wynikiem SAT i proporcjonalnie dużym czesnym? To Wake Forest i Davidson. Natomiast samotna kropka w dole to jedyna prywatna uczelnia na liście z czesnym poniżej 10 tysięcy dolarów rocznie — Cabarrus College of Health Sciences.




Z rysunku wyraźnie wynika, że szkoły z wyższymi wynikami mają wyższe czesne. Ale o ile? W tym miejscu do dzieła wkracza regresja liniowa. Punkty na wykresie nie tworzą żadnej linii, ale widać, że nie są zbyt rozrzucone. Prawdopodobnie dałoby się narysować od ręki prostą kreskę, która będzie przebiegała mniej więcej przez środek tego kłębowiska kropek. Regresja liniowa rezygnuje ze zgadywania i pozwala wyznaczyć linię, która przebiega najbliżej[2] wszystkich punktów. Dla uczelni z Karoliny Północnej wygląda ona mniej więcej jak na poniższym rysunku.




Linia na tym rysunku ma nachylenie około 28. Co to oznacza? Jeśli zgodnie z linią czesne faktycznie jest w pełni uzależnione od wyników SAT, to każdy dodatkowy punkt SAT będzie równoważny wyższemu o 28 dolarów czesnemu. Jeśli uda Ci się podwyższyć średni wynik SAT przyszłych studentów o 50 punktów, to możesz kasować od rodziców o 1400 dolarów więcej. (Albo, z punktu widzenia rodziców, jeżeli Twoje dziecko poprawi wynik o 100 punktów, będzie Cię to kosztowało dodatkowe 2800 dolarów rocznie. Tego kosztu kursów przygotowawczych do egzaminu SAT z pewnością nie uwzględniłeś!)

Regresja liniowa to niesamowite narzędzie — uniwersalne, skalowalne i zasadniczo wymagające jednego kliknięcia w arkuszu kalkulacyjnym. Można z niego korzystać przy dwóch zestawach danych — jak w powyższym przykładzie — ale równie dobrze zmiennych mogłoby być pięć lub tysiąc. Po to narzędzie sięga się za każdym razem, gdy interesuje nas wzajemna zależność jakichś zmiennych. Sprawdza się do dowolnych zestawów danych.

Jest to jednocześnie mocna i słaba strona tej metody. Regresję liniową można przeprowadzić dla dowolnego zjawiska, niezależnie od tego, czy relacje faktycznie są bliskie liniowości. Ale nie powinno się tego robić. Napisałem, że regresja liniowa jest jak śrubokręt — i to prawda, ale można ją też przyrównać do piły tarczowej. Jeśli użyjesz jej bez zastanowienia, skutki mogą być opłakane.

Weźmy na przykład pocisk, który wystrzeliliśmy w poprzednim rozdziale. Być może jesteś typem osoby, która nigdy nie wystrzeliła żadnego pocisku. Co więcej, być może jesteś planowanym odbiorcą tego pocisku. W takim przypadku będziesz żywo zainteresowany jak najdokładniejszą analizą toru jego lotu.

Załóżmy, że zbadałeś wysokość pocisku w pięciu punktach w czasie i uzyskałeś takie wyniki:




Wykonaj szybką regresję liniową. Wynik jest bardzo obiecujący, bo linia przechodzi niemal dokładnie przez narysowane punkty.




(W tym momencie dłoń bez Twojej wiedzy powoli sięga po piłę tarczową).

Narysowana linia daje nam bardzo precyzyjny model ruchu pocisku. Każda minuta lotu oznacza zwiększenie wysokości o jakąś stałą wartość, na przykład 400 metrów. Po godzinie pocisk będzie 24 kilometry nad powierzchnią ziemi. Kiedy spadnie? Nigdy! Linia prosta biegnąca w górę będzie biegła w górę, bo tak właśnie zachowują się linie proste.

(Krew, chrzęsty, krzyki).

Nie każda krzywa jest prostą. A krzywa lotu pocisku zdecydowanie nie jest prostą, lecz parabolą. Tak jak w przypadku okręgu Archimedesa, z bliska wygląda na prostą, co jest powodem, dla którego regresja liniowa spełnia swoje zadanie, gdy chcesz się dowiedzieć, gdzie znajdzie się pocisk pięć sekund po ostatnim pomiarze. Ale godzinę później? Bez żartów. Według Twojego wykresu pocisk przecina wtedy niższą stratosferę, podczas gdy w rzeczywistości prawdopodobnie będzie blisko Twojego domu.

Najlepsze znane mi ostrzeżenie przed bezmyślnym stosowaniem ekstrapolacji liniowej pochodzi nie od statystyka, lecz od Marka Twaina, z książki Życie na Missisipi:

A więc sto siedemdziesiąt sześć lat temu Missisipi między Cairo a Nowym Orleanem miała tysiąc dwieście piętnaście mil. Po skrócie z roku 1722 miała tysiąc sto osiemdziesiąt mil. Po skrócie przy Amerykańskim Zakręcie miała tysiąc czterdzieści, i od tego czasu straciła sześćdziesiąt siedem mil. A zatem jej długość wynosi obecnie tylko dziewięćset siedemdziesiąt trzy mile. (…) Na przestrzeni stu siedemdziesięciu sześciu lat Dolna Missisipi skróciła bieg o dwieście czterdzieści dwie mile. Przeciętna roczna była zresztą nieznaczna: jedna i jedna trzecia mili. A więc każdy zrównoważony człowiek, jeśli nie jest ślepy i ma zdrowe zmysły, może wywnioskować, że w dawnym neolitowym okresie sylurskim, od którego w przyszłym listopadzie upływa właśnie milion lat, Dolna Missisipi miała z górą milion trzysta tysięcy mili długości i sterczała z Zatoki Meksykańskiej jak wędka. Na tej samej podstawie każdy może również wywnioskować, że za siedemset czterdzieści dwa lata od obecnej chwili Dolna Missisipi będzie miała tylko jedną i trzy czwarte mili długości, a Cairo i Nowy Orlean połączą się ulicami i będą zgodnie wlokły swój żywot pod jednym burmistrzem i wspólną radą miejską. W nauce jest istotnie coś fascynującego. Z błahego stwierdzenia faktu można wysunąć mnóstwo tak wspaniałych uogólnień[3].





NA MARGINESIE:

JAK UZYSKAĆ CZĘŚCIOWE ZALICZENIE NA MOIM EGZAMINIE Z CAŁEK


Całkowanie jest w dużej mierze podobne do regresji liniowej: to czysto mechaniczna metoda, obliczenia da się wykonać na kalkulatorze, a stosowanie jej bez zastanowienia bywa bardzo niebezpieczne. Na egzaminie możesz na przykład dostać zadanie, w którym trzeba obliczyć wagę wody pozostałej w dzbanku po określonym czasie od zrobienia w nim dziury, bla, bla, bla. Łatwo popełnić błąd arytmetyczny, gdy wykonuje się takie obliczenia pod presją czasu, i czasem studenci dochodzą do absurdalnych wyników w rodzaju „waga pozostałej wody wynosi –4 gramy”.

Gdy student uzyska taki wynik i dopisze pospiesznie „gdzieś coś pochrzaniłem, ale nie potrafię znaleźć błędu”, to daję mu połowę punktów.

Jeżeli natomiast napisze tylko „–4 g” na dole strony i otoczy wynik kółkiem, dostanie zero punktów, nawet jeśli cały rachunek jest przeprowadzony poprawnie poza jakąś jedną pomyloną cyferką gdzieś w połowie strony.

Obliczanie całek i wykonywanie regresji liniowych jest czymś, z czym komputer radzi sobie całkiem nieźle. Ale ocena, czy wynik ma sens — lub czy w ogóle użyliśmy właściwej metody — wymaga zaangażowania ludzkiego umysłu. Wykładowca powinien to przekazać swoim studentom. Gdy tego nie robi, tak naprawdę przygotowuje swoich podopiecznych do bycia powolną i omylną wersją Excela.

Bądźmy szczerzy: tego właśnie uczy się na większości wykładów z matematyki. Krótko mówiąc, nauczanie matematyki jest od wielu dekad frontem, na którym toczy się wielka wojna. Z jednej strony mamy nauczycieli i wykładowców kładących nacisk na kucie na blachę, płynność, tradycyjne algorytmy i dokładne odpowiedzi, a z drugiej strony są ci, którzy uważają, że ich zadaniem jest przekazywanie znaczeń, rozwijanie różnych sposobów rozumowania, naprowadzanie na odkrycia i przybliżenia. Czasem to pierwsze podejście nazywa się tradycyjnym, a drugie zreformowanym, chociaż tak naprawdę to nietradycyjne, odkrywcze podejście w różnych formach istnieje już od wielu dekad, a to, czy „zreformowanie” podąża w dobrym kierunku, jest wciąż przedmiotem dyskusji. Zagorzałych. Na kolacji matematyków dozwolone są tematy polityczne lub religijne, lecz poruszenie kwestii nauczania prawie zawsze doprowadza do tego, że jakiś tradycjonalista lub reformator opuszcza towarzystwo, trzaskając z wściekłością drzwiami.

Ja nie zaliczam się do żadnego z tych obozów. Nie zgadzam się z reformatorami, którzy chcą wyrzucić z programu naukę tabliczki mnożenia. Każde poważne matematyczne rozumowanie wymaga czasem pomnożenia 6 przez 8 i jeśli za każdym razem będziesz musiał sięgać po kalkulator, nigdy nie osiągniesz koniecznej w takim procesie płynności myśli. Tak samo nie napiszesz sonetu, jeśli każde słowo będziesz sprawdzał w słowniku.

Niektórzy reformatorzy posuwają się nawet do tego, że postulują wyrzucenie z programu niektórych klasycznych algorytmów (takich jak „aby dodać dwie wielocyfrowe liczby, zapisz je jedna nad drugą i dodawaj po kolei cyfry, przenosząc je dalej, gdy to konieczne”), bo ich zdaniem zakłócają one proces samodzielnego odkrywania przez ucznia praw matematycznych[4].

Wydaje mi się to katastrofalnym pomysłem, bo opracowanie tych przydatnych narzędzi obliczeniowych wymagało ciężkiej pracy, i nie widzę powodu, dla którego powinniśmy wracać do punktu wyjścia i zaczynać od zera.

Z drugiej strony istnieją takie algorytmy, których moim zdaniem możemy się bezpiecznie pozbyć. Na przykład nie musimy uczyć studentów obliczania pierwiastka kwadratowego na kartce lub w głowie (chociaż z własnego doświadczenia wiem, że ta druga opcja jest świetnym trikiem imprezowym w odpowiednio unaukowionym towarzystwie). Wymyślenie kalkulatora także wymagało ciężkiej pracy i nie widzę powodu, żeby odrzucać ten wynalazek, gdy wymaga tego sytuacja! Nie interesuje mnie to, czy moi studenci potrafią podzielić pisemnie 430 przez 12, ale interesuje mnie, czy mają na tyle wyczucia liczb, żeby wyliczyć w pamięci, że wynik musi być nieco wyższy niż 35.

Zbyt duży nacisk na algorytmy i precyzyjne obliczenia może wynikać z tego, że łatwo to ocenić. Jeśli przyjmiemy wizję matematyki, w której chodzi wyłącznie o „uzyskanie prawidłowej odpowiedzi”, i tylko to będziemy sprawdzać, ryzykujemy tym, że nasi studenci świetnie wypadną na testach, lecz nie będą mieli pojęcia o matematyce. Taki stan rzeczy prawdopodobnie satysfakcjonuje osoby zainteresowane wyłącznie wynikami testów, ale dla mnie jest nie do przyjęcia.

Oczywiście wcale nie lepiej (a nawet znacznie gorzej) jest wypuścić na świat studentów, którzy mają jakieś niejasne wyobrażenie o znaczeniu w matematyce, lecz nie potrafią szybko i bezbłędnie rozwiązywać zadań. Najgorsze słowa, jakie można usłyszeć od studenta, to: „Rozumiem koncepcję, ale nie potrafię rozwiązać tego problemu”. Student o tym nie wie, ale takie zdanie to skrót od: „Nie rozumiem koncepcji”. Matematyczne idee mogą sprawiać wrażenie abstrakcyjnych, ale mają znaczenie tylko w odniesieniu do konkretnych obliczeń. William Carlos Williams wyraził to bardzo zwięźle: nie ma idei bez pokrycia w rzeczywistości.

W żadnej dziedzinie wojna nie jest jednak tak zagorzała jak w geometrii płaskiej. To ostatnia reduta nauczania dowodów, czyli praktyki będącej fundamentem tej nauki. Przez wielu matematyków jest ona uważana za ostatni bastion „prawdziwej maty”. Ale trudno określić, w jakim stopniu, ucząc geometrii, przekazujemy zaskakujące p